كيف يمكنك استخدام سلسلة ذات الحدين لتوسيع sqrt (1 + x)؟

إجابة:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = sum (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # مع # x في CC #

استخدم تعميم الصيغة ذات الحدين على أعداد معقدة.

تفسير:

هناك تعميم للصيغة ذات الحدين على الأعداد المركبة.

يبدو أن صيغة سلسلة ذات الحدين العام تكون # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) z ^ k # مع # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (حسب ويكيبيديا). دعنا نطبقه على تعبيرك.

هذه سلسلة طاقة بشكل واضح ، إذا أردنا أن نحصل على فرص لعدم حدوث هذا ، فإننا نحتاج إلى ضبطه #absx <1 # وهذه هي الطريقة التي تتوسع بها #sqrt (1 + س) # مع سلسلة ذات الحدين.

لن أثبت أن الصيغة صحيحة ، ولكنها ليست صعبة للغاية ، عليك فقط أن ترى أن الوظيفة المعقدة تحددها # (1 + ض) ^ ص # متعدد الأشكال على قرص الوحدة ، وحساب كل مشتق منه في 0 ، وهذا سيعطيك صيغة تايلور للوظيفة ، مما يعني أنه يمكنك تطويره كسلسلة قوة على قرص الوحدة لأن #absz <1 #، وبالتالي النتيجة.

كيف يمكنك استخدام سلسلة ذات الحدين لتوسيع (5 + س) ^ 4؟

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 يتم توسيع سلسلة ذات الحدين لـ (a + bx) ^ n ، ninZZ ؛ n> 0 بواسطة: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) لذا ، لدينا: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3X + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

كيف يمكنك استخدام صيغة ذات الحدين لتوسيع [x + (y + 1)] ^ 3؟

X ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 تحتوي هذه الحيلة على النموذج (a + b) ^ 3 نقوم بتوسيع الحدين عن طريق تطبيق هذا الخاصية: (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3. حيث في المعطى ذو الحدين a = x و b = y + 1 لدينا: [x + (y + 1)] ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + ( y + 1) ^ 3 ملاحظه كـ (1) في الموسع أعلاه ، لا يزال لدينا اثنين من الحدين لتوسيع (y + 1) ^ 3 و (y + 1) ^ 2 من أجل (y + 1) ^ 3 يجب علينا استخدام الخاصية المكعبة أعلاه (So + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1. لاحظ أنه (2) بالنسبة لـ (y + 1) ^ 2 ، يتعين علينا استخدام مربع المجموع الذي يقول: (a + b) ^ 2 = a ^ 2 +

كيف يمكنك استخدام سلسلة ذات الحدين لتوسيع sqrt (z ^ 2-1)؟

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] أود تمام ا إجراء فحص مزدوج لأنني كطالب فيزياء نادرا ما تجاوز (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx لـ x صغير ا لذا فأنا صدئ قليلا . سلسلة ذات الحدين هي حالة متخصصة لنظرية ذات الحدين والتي تنص على أن (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n) ، (k)) x ^ k مع ((n) ، (ك)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) ما لدينا هو (z ^ 2-1) ^ (1/2) ، ليس هذا هو الشكل الصحيح. لتصحيح هذا ، تذكر أن i ^ 2 = -1 لذلك لدينا: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) هذا هو الآن في الشكل الصحيح مع x = -z ^ 2 لذلك ، سيكون التوسيع: i [1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2))