كيف يمكنك استخدام سلسلة ذات الحدين لتوسيع sqrt (1 + x)؟

إجابة:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = sum (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # مع # x في CC #

استخدم تعميم الصيغة ذات الحدين على أعداد معقدة.

تفسير:

هناك تعميم للصيغة ذات الحدين على الأعداد المركبة.

يبدو أن صيغة سلسلة ذات الحدين العام تكون # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) z ^ k # مع # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (حسب ويكيبيديا). دعنا نطبقه على تعبيرك.

هذه سلسلة طاقة بشكل واضح ، إذا أردنا أن نحصل على فرص لعدم حدوث هذا ، فإننا نحتاج إلى ضبطه #absx <1 # وهذه هي الطريقة التي تتوسع بها #sqrt (1 + س) # مع سلسلة ذات الحدين.

لن أثبت أن الصيغة صحيحة ، ولكنها ليست صعبة للغاية ، عليك فقط أن ترى أن الوظيفة المعقدة تحددها # (1 + ض) ^ ص # متعدد الأشكال على قرص الوحدة ، وحساب كل مشتق منه في 0 ، وهذا سيعطيك صيغة تايلور للوظيفة ، مما يعني أنه يمكنك تطويره كسلسلة قوة على قرص الوحدة لأن #absz <1 #، وبالتالي النتيجة.