كيف يمكنك استخدام سلسلة ذات الحدين لتوسيع sqrt (z ^ 2-1)؟

إجابة:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

تفسير:

أود إجراء فحص مزدوج لأنني كطالب فيزياء نادرا ما أخرج منه # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # ل x الصغيرة لذلك أنا صدئ بعض الشيء. سلسلة ذات الحدين هي حالة متخصصة من نظرية ذات الحدين الذي ينص على ذلك

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n)، (k)) x ^ k #

مع # ((n) ، (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

ما لدينا هو # (ض ^ 2-1) ^ (1/2) #، ليس هذا هو الشكل الصحيح. لتصحيح هذا ، تذكر ذلك # i ^ 2 = -1 # اذا لدينا:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

هذا هو الآن في الشكل الصحيح مع #x = -z ^ 2 #

لذلك ، سيكون التوسع:

#i 1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #