ما هي الصيغة للعثور على منطقة dodecagon العادية؟

إجابة:

#S _ ("dodecagon العادية") = (3 / (tan 15 ^ @)) "side" ^ 2 ~ = 11.196152 * "side" ^ 2 #

تفسير:

بالتفكير في dodecagon منتظم مدرج في دائرة ، يمكننا أن نرى أنه يتكون من 12 مثلث متساوي الساقين من الجانبين نصف قطر الدائرة ، دائرة نصف قطرها وجانب dodecagon ؛ في كل من هذه المثلثات ، تكون الزاوية المقابلة لجانب dodecagon تساوي #360^@/12=30^@#. مساحة كل من هذه المثلثات هي # ("الجانب" * "الارتفاع) / 2 #، نحن بحاجة فقط إلى تحديد الارتفاع عمودي ا على جانب dodecagon من أجل حل المشكلة.

في مثلث متساوي الساقين المذكورين ، الذي قاعدته هو جانب dodecagon وجوانبه المتساوية هي نصف قطر الدائرة ، وزاويته تعارض القاعدة (#ألفا#) مساوي ل #30^@#، لا يوجد سوى خط مرسوم من القمة يلتقي فيه نصف قطر الدائرة (النقطة ج) يعترض بشكل عمودي على جانب dodecagon: هذا الخط يشطر الزاوية #ألفا# وكذلك يحدد ارتفاع المثلث بين النقطة C والنقطة التي يتم فيها اعتراض القاعدة (النقطة م) ، وكذلك يقسم القاعدة إلى جزأين متساويين (كل ذلك لأن المثلثين الأصغر المتشكلين متشابهان).

نظر ا لأن المثلثين الأصغر المذكورين المذكوران صحيحان ، يمكننا تحديد ارتفاع مثلث متساوي الساقين بهذه الطريقة:

#tan (alpha / 2) = "cathetus متعارض" / "Cathetus مجاور" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("الجانب" / 2) / "الارتفاع" # => # Height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

إذن لدينا

#S_ (dodecagon) = 12 * S_ (مثلث) = 12 * (("جانب") ("ارتفاع")) / 2 = 6 * ("جانب") ("جانب") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("side") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #