ما هو المشتق الثاني للدالة f (x) = (x) / (x - 1)؟

إجابة:

# د ^ 2 / (DX ^ 2) س / (س-1) = 2 / (خ-1) ^ 3 #

تفسير:

لهذه المشكلة ، سوف نستخدم قاعدة حاصل

# d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / g (x) ^ 2 #

يمكننا أيض ا أن نجعل الأمر أسهل قليلا عن طريق القسمة

# x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) #

المشتق الأول:

# د / DX (1 + 1 / (X-1)) #

# = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) #

# = 0 + ((خ-1) (0) - (1) (1)) / (س 1) ^ 2 #

# = -1 / (x-1) ^ 2 #

المشتق الثاني:

المشتق الثاني هو مشتق المشتق الأول.

# d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) #

# = - ((خ-1) ^ 2 (د / DX1) -1 (د / DX (خ-1) ^ 2)) / (س-1) ^ 2 ^ 2 #

# = - ((خ-1) ^ 2 (0) -1 (2 (س-1))) / (س 1) ^ 4 #

# = 2 / (خ-1) ^ 3 #

يمكن أن نستخدم أيض ا قاعدة القوة # d / dx x ^ n = nx ^ (n-1) # إلى عن على # N! = 1 #:

# 1 + 1 / (x-1) = 1+ (x-1) ^ (- 1) #

# => d / dx (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (1+ (x-1) ^ (- 1)) #

# = - (x-2) ^ (- 2) #

# => d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (- (x-2) ^ (- 2)) #

# = 2 (س 2) ^ (- 3) #

وهو نفس النتيجة التي حصلنا عليها أعلاه.