ما هو int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx؟

إجابة:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

تفسير:

هذا التفسير طويل بعض الشيء ، لكن لم أجد طريقة أسرع للقيام بذلك …

التكامل هو تطبيق خطي ، بحيث يمكنك بالفعل تقسيم الوظيفة تحت علامة متكاملة.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

المصطلحان الأولان هما وظائف متعددة الحدود ، لذلك يسهل دمجها. أنا أريك كيف تفعل ذلك مع # س ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # وبالتالي # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. أنت تفعل الشيء نفسه بالضبط ل # س ^ 3 #، النتيجه هي #255/4#.

العثور على #intsqrt (خ-1) / س ^ 2DX # طويلة بعض الشيء ومعقدة. أولا عليك ضرب الكسر ب #sqrt (خ-1) / الجذر التربيعي (س-1) # ثم قمت بتغيير المتغير: دعنا نقول #u = sqrt (x-1) #. وبالتالي # دو = 1 / (2sqrt (خ-1)) DX # وعليك الآن أن تجد # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. للعثور عليه ، تحتاج إلى تحلل الكسر الجزئي للدالة المنطقية # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # مع # a ، b ، c ، d في RR #. بعد حساب التفاضل والتكامل ، نكتشف ذلك # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #، مما يعنى # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (دو) / (ش ^ 2 + 1) ^ 2 # هو معروف جيدا ، هو عليه #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

أخيرا، # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2)))) = arctan (u) - u / (1 + ش ^ 2) #

أنت تحل محل # ش # بواسطة التعبير الأصلي مع # # س امتلاك #intsqrt (خ-1) / س ^ 2DX #، الذي #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

حتى النهاية، # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #