كيف يمكنك دمج int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx باستخدام الإحلال المثلثي؟

إجابة:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 sqrt101) / (10 ((ه ^ س + 10) / (الجذر التربيعي (ه ^ (2X) + 20E ^ س + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

تفسير:

الحل طويل بعض الشيء !!!

من المعطى #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

لاحظ ذلك # ط = الجذر التربيعي (-1) # الرقم الخيالي

ضع جانبا هذا الرقم المعقد لفترة من الوقت وانتقل إلى التكامل

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

من خلال استكمال المربع والقيام ببعض المجموعات:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

بدائل المثلثية الأولى: ##

الزاوية الحادة # ث # مع الجانب المعاكس # = ه ^ س + 10 # والجانب المجاور #=1# مع الوتر =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

سمح # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

وثم

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

يصبح جزءا لا يتجزأ

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

من علم المثلثات #sec w = 1 / cos w # و #tan w = sin w / cos w #

يصبح جزءا لا يتجزأ

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # و

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

الاستعاضة المثلثية الثانية:

سمح # w = 2 tan ^ -1 z #

# جاف = 2 * DZ / (1 + ض ^ 2) #

و أيضا # z = تان (w / 2) #

المثلث الأيمن: الزاوية الحادة # ث / 2 # مع الجانب الآخر # = z #

الجانب المجاور #=1# ووتر # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

من علم المثلثات: تشير إلى صيغ نصف الزاوية

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

حل ل #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

أيضا باستخدام الهوية #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

إنه يتبع هذا

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

يصبح جزءا لا يتجزأ

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + ض ^ 2)) #

تبسيط النتائج المتكاملة ل

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

من خلال استكمال المربع:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

استخدم الآن الصيغة #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

سمح # ش = ض + 10/01 # و # ل= sqrt101 / 10 # بما في ذلك الظهر # ط = الجذر التربيعي (-1) #

اكتب الجواب النهائي باستخدام المتغيرات الأصلية

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 sqrt101) / (10 ((ه ^ س + 10) / (الجذر التربيعي (ه ^ (2X) + 20E ^ س + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #