لماذا الجذر التربيعي لعدد 5 غير منطقي؟

إجابة:

انظر الشرح …

تفسير:

فيما يلي رسم لإثبات بالتناقض:

افترض #sqrt (5) = p / q # لبعض الاعداد الصحيحه الايجابية # ف # و # ف #.

دون فقدان العمومية ، قد نفترض ذلك # p ، q # هي أصغر هذه الأرقام.

ثم بحكم التعريف:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

اضرب كلا الطرفين ب # ف ^ 2 # للحصول على:

# 5 س ^ 2 = ص ^ 2 #

وبالتالي # ص ^ 2 # هو قابل للقسمة من قبل #5#.

ثم منذ ذلك الحين #5# هو رئيس الوزراء ، # ف # يجب أن تكون قابلة للقسمة #5# جدا.

وبالتالي #p = 5m # لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة # م #.

اذا لدينا:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

اقسم الطرفين على #5# للحصول على:

# ف ^ 2 = 5 م ^ 2 #

اقسم الطرفين على # م ^ 2 # للحصول على:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

وبالتالي #sqrt (5) = q / m #

الآن #p> q> m #، وبالتالي # ف ، م # هو زوج أصغر من الأعداد الصحيحة التي هو حاصل #sqrt (5) #، متناقضة فرضيتنا.

لذلك فرضيتنا ذلك #sqrt (5) # يمكن أن يمثلها # ف / ف # لبعض الأعداد الصحيحة # ف # و # ف # هو زائف. هذا هو، #sqrt (5) # ليس عقلاني. هذا هو، #sqrt (5) # غير عقلاني.