كيف عامل x ^ 6-2x ^ 3 + 1؟

# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # هو من النموذج # ذ ^ 2-2y + 1 # أين #y = x ^ 3 #.

هذه الصيغة التربيعية في # ذ # العوامل على النحو التالي:

# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #

وبالتالي # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #

# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #

وبالتالي # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #

# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.

# س ^ 2 + س + 1 # لا يوجد لديه عوامل خطية مع معاملات حقيقية. للتحقق من هذا الإشعار أنه من النموذج # ax ^ 2 + bx + c #، والتي تنطوي على تمييز:

#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #

كونها سلبية ، المعادلة # x ^ 2 + x + 1 = 0 # لا يوجد لديه جذور حقيقية.

إحدى طرق التحقق من الإجابة هي استبدال قيمة لـ # # س هذا ليس الجذر في كلا الجانبين ومعرفة ما إذا كنا نحصل على نفس النتيجة:

محاولة # س = 2 #:

# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #

# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #

قارن:

# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #

#1^2*7^2=49#

حسنا لقد عملت!

# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # سهل إلى حد ما لأنه عامل مثالي. كيف لى أن أعرف ذلك؟ إنه ثلاثي الحدود في الشكل # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #، وجميع الحدود الثلاثية في هذا الشكل هي الساحات الكمال.

هذا ثلاثي الحدود هو مربع مثالي من # (x ^ 3 - 1) #. للتحقق من عملي ، سأعمل إلى الوراء:

# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #

# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #

# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #

لذلك ، هذا ثلاثي الحدود لديه عوامل #1#, # x ^ 3 - 1 #و # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.

ومع ذلك ، كما أشار لي ، # (x ^ 3 - 1) # لديها أيضا عوامل. لأنه هو ذات الحدين من النموذج # a ^ 3 - b ^ 3 #، ويمكن أيضا أن تكون مكتوبة # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.

وبالتالي، # (x ^ 3 - 1) # العوامل في # (x - 1) # و # (x ^ 2 + x + 1) #، وكلاهما رئيس الوزراء.

عوامل # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # هي:

#1#

# س 1 #

# x ^ 2 + x + 1 #

# x ^ 3 - 1 #

# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #

بشكل أكثر تحديدا ، فإن PRIME التخصيم # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # هو:

# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #