ماذا sqrt (3 + i) متساوية في شكل + bi؟

إجابة:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

تفسير:

افترض # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

حتى معادلة أجزاء حقيقية وخيالية نحصل عليها:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

بالتالي # ب = 1 / (2 أ) #، والتي يمكننا استبدالها في المعادلة الأولى للحصول على:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

اضرب كلا الطرفين ب # 4A ^ 2 # للحصول على:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

وبالتالي:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

من الصيغة التربيعية نحصل على:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

منذ #sqrt (10)> 3 #، اختر ال #+# علامة للحصول على القيم الحقيقية ل #ا#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

أين #ب# لديه نفس علامة باسم #ا# منذ # ب = 1 / (2 أ) #

الجذر التربيعي الرئيسي هو في Q1 مع # أ ، ب> 0 #

هذا هو:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

في الواقع ، إذا # ج ، د> 0 # ثم يمكننا أن نظهر بالمثل:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) أنا#