إجابة:
انظر أدناه
تفسير:
كيف تثبت (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)؟
من فضلك، انظر بالأسفل. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS
FCF (الكسر المستمر الوظيفي) cosh_ (cf) (x؛ a) = cosh (x + a / cosh (x + a / cosh (x + ...))). كيف تثبت أن FCF هذا هو وظيفة زوجية بالنسبة لكل من x و a ، مع ا؟ و cosh_ (cf) (x؛ a) و cosh_ (cf) (-x؛ a) مختلفة؟
Cosh_ (cf) (x؛ a) = cosh_ (cf) (- x؛ a) و cosh_ (cf) (x؛ -a) = cosh_ (cf) (- x؛ -a). نظر ا لأن قيم cosh هي> = 1 ، أي y هنا> = 1 دعنا نظهر أن y = cosh (x + 1 / y) = cosh (-x + 1 / y) يتم إعداد الرسوم البيانية بتعيين = + -1. هيكلين المقابلة من FCF مختلفة. رسم بياني لـ y = cosh (x + 1 / y). لاحظ أن الرسم البياني = 1 ، x> = - 1 {x-ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) + 1 / y = 0} رسم بياني لـ y = cosh (-x + 1 / y). لاحظ أن الرسم البياني = 1 ، x <= 1 {x + ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) -1 / y = 0} رسم بياني مدمج لـ y = cosh (x + 1 / y) و y = cosh (-x + 1 / y): رسم بياني {(x-ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0.5) + 1 / y) (x + ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0
يتم تعريف الكسر المستمر الوظيفي (FCF) للفئة الأسية بواسطة a_ (cf) (x؛ b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) ، a> 0. عند تعيين = e = 2.718281828 .. ، كيف تثبت أن e_ (cf) (0.1؛ 1) = 1.880789470 ، تقريب ا؟
راجع الشرح ... Let t = a_ (cf) (x؛ b) ثم: t = a_ (cf) (x؛ b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x؛ b))) = a ^ (x + b / t) وبعبارة أخرى ، t هي نقطة ثابتة من التعيين: F_ (a، b، x) (t) = a ^ (x + b / t) لاحظ أنه بحد ذاته ، النقطة الثابتة لـ F (t) ليست كافية لإثبات أن t = A_ (راجع) (س. ب). قد تكون هناك نقاط ثابتة غير مستقرة ومستقرة. على سبيل المثال ، 2016 ^ (1/2016) هي نقطة ثابتة في x -> x ^ x ، ولكنها ليست حلا x ^ (x ^ (x ^ (x ^ ...)))) = 2016 (هناك لا حل). ومع ذلك ، دعونا نتأمل a = e ، x = 0.1 ، b = 1.0 و t = 1.880789470 ثم: F_ (a، b، x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) ~~