ما هو f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx if f (pi / 6) = 1؟

إجابة:

# ه ^ س / 2 (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) - قانون الجنسية | كوس (خ) | -1 / 2SEC ^ 2 (س) -cos (خ) + 03/05 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) ه ^ (بي / 6) + قانون الجنسية (sqrt3 / 2) #

تفسير:

نبدأ بتقسيم جزء لا يتجزأ من ثلاثة:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

سأدعو متكاملة لا يتجزأ 1 اليسار والحق واحد لا يتجزأ 2

لا يتجزأ 1

نحن هنا بحاجة إلى التكامل بالأجزاء وخدعة صغيرة. صيغة التكامل بالأجزاء هي:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

في هذه الحالة ، سأدع # F (س) = ه ^ س # و #G '(س) = جتا (س) #. لقد حصلنا على ذلك

# F '(س) = ه ^ س # و #G (س) = الخطيئة (خ) #.

هذا يجعل لدينا لا يتجزأ:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

الآن يمكننا تطبيق التكامل بالأجزاء مرة أخرى ، ولكن هذه المرة مع #G '(س) = الخطيئة (خ) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

الآن يمكننا إضافة جزء لا يتجزأ من كلا الجانبين ، مع إعطاء:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = ه ^ س / 2 (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) + C #

لا يتجزأ 2

يمكننا أولا استخدام الهوية:

#tan (ثيتا) = الخطيئة (ثيتا) / كوس (ثيتا) #

هذا يعطي:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

الآن يمكننا استخدام هوية فيثاغورس:

# الخطيئة ^ 2 (ثيتا) = 1-جتا ^ 2 (ثيتا) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

الآن يمكننا تقديم استبدال u مع # ش = كوس (خ) #. نحن ثم نقسم على المشتق ، # -sin (خ) # للتكامل فيما يتعلق # ش #:

# -int (Cancel (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (((sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

استكمال لا يتجزأ الأصلي

الآن وقد أصبحنا نعرف Integral 1 و Integral 2 ، يمكننا توصيلهما مرة أخرى بالتكامل الأصلي وتبسيطهما للحصول على الإجابة النهائية:

# ه ^ س / 2 (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) - قانون الجنسية | كوس (خ) | -1 / 2SEC ^ 2 (س) -cos (خ) + C #

الآن بعد أن عرفنا المضاد ، يمكننا حل الثابت:

# F (بي / 6) = 1 #

# ه ^ (بي / 6) / 2 (الخطيئة (بي / 6) + كوس (بي / 6)) - قانون الجنسية | كوس (بي / 6) | -1 / 2SEC ^ 2 (باي / 6) -cos (بي / 6) + C = 1 #

# -2/3-الجذر التربيعي (3) / 2 + 1/2 (1/2 + الجذر التربيعي (3) / 2) ه ^ (بي / 6) -ln (الجذر التربيعي (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) ه ^ (بي / 6) + قانون الجنسية (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) ه ^ (بي / 6) + قانون الجنسية (sqrt3 / 2) #

هذا يعطي أن وظيفتنا هي:

# ه ^ س / 2 (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) - قانون الجنسية | كوس (خ) | -1 / 2SEC ^ 2 (س) -cos (خ) + 03/05 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) ه ^ (بي / 6) + قانون الجنسية (sqrt3 / 2) #