حل هذا باستخدام ريمان لا يتجزأ؟

إجابة:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # أو # تقريبا 1.302054638 … #

تفسير:

الهوية الأولى الأكثر أهمية لحل أي نوع من المشاكل مع المنتج اللانهائي هي تحويلها إلى مشكلة المبالغ غير المحدودة:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

تشديد:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ولكن ، قبل أن نتمكن من القيام بذلك ، يجب أن نتعامل أولا مع # frac {1} {n ^ 2} في المعادلة وفضلنا أن ندعو المنتج اللانهائي L:

# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n إلى + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n إلى + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n إلى + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

الآن يمكننا تحويل هذا إلى مبلغ لا حصر له:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n إلى + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

تطبيق خصائص اللوغاريتم:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

واستخدام خصائص الحد:

# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

دعنا ندعو المبلغ اللامتناهي S:

# S = lim_ {n إلى + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

وتذكر ذلك

# L = exp (S) #

الآن دعنا نحل سؤالك عن طريق تحويله من ريمان سوم إلى التعريف النهائي:

أذكر تعريف مبلغ ريمان:

تشديد:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

سمح

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n}))) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

الآن دع # f (x) = ln (1 + x ^ 2) و = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

وبالتالي ، ب = 1 أي

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

وبالتالي،

# S = lim_ {n إلى + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

حل ل # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

استخدام التكامل حسب الأجزاء:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

سمح # u = ln (1 + x ^ 2) و v = 1 #

ثم ، استخدم قاعدة السلسلة ومشتق اللوغاريتم الطبيعي للحصول عليها # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

واستخدم قاعدة الطاقة للحصول على: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # استخدم قاعدة الطرح:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

استخدم قاعدة القدرة للتكامل الأول والثاني هو دالة المثلثية القياسية # arctan (x) # (معكوس دالة الظل)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

وهكذا، # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

حل الآن للتكامل واضح:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

نحن نعلم أن مضاد الاشتقاق هو # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #، هكذا

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

لاحظ أن أركان (1) هو 45 درجة أو # frac { pi} {4} # (تذكر المثلث الأيمن الخاص بأطوال جانبية 1،1 ، # الجذر التربيعي {2} # والزوايا 45 درجة ، 45 درجة ، 90 درجة) وكذلك # arctan (0) = 0 #

وهكذا #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

أو # 0.263943507354 تقريب ا … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

لذلك الحل هو # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # أو # تقريبا 1.302054638 … #