ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)؟

إجابة:

#(0,0)# هي نقطة السرج

# (1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) # و # (- 1 / sqrt 2، -1 / sqrt 2) # هي الحد الأقصى المحلي

# (1 / sqrt 2، -1 / sqrt 2) # و # (- 1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) # هي الحد الأدنى المحلي

# (0 ، مساء 1 / sqrt 2) # و # (مساء 1 / sqrt 2،0) # هي نقاط انعطاف.

تفسير:

لوظيفة عامة # F (X، Y) # مع نقطة ثابتة في # (x_0، y_0) # لدينا توسيع سلسلة تايلور

#F (x_0 + xi ، y_0 + eta) = F (x_0 ، y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

للحصول على الوظيفة

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

نحن لدينا

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

من السهل أن نرى أن كل من المشتقات الأولى تختفي عند الأشخاص التاليين

• #(0,0)#
• # (0 ، مساء 1 / sqrt2) #
• # (مساء 1 / sqrt2 ، 0) #
• # (مساء 1 / sqrt2 ، مساء 1 / sqrt2) #

لدراسة طبيعة هذه النقاط الثابتة ، نحتاج إلى النظر إلى سلوك المشتقات الثانية هناك.

الآن

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-ص ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

وبالمثل

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

و

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- س ^ 2-ص ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

وذلك ل #(0,0)# نحن لدينا # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # و # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - بالتالي

#f (0 + xi ، 0 + eta) = f (0،0) + xi eta = xi eta #

إذا كنت تقترب #(0,0)# على طول الخط # س = ص #، هذا يصبح

#f (0 + xi ، 0 + xi) = xi ^ 2 #

و حينئذ #(0,0)# ومن الواضح أن الحد الأدنى إذا كنت تقترب من هذا الاتجاه. من ناحية أخرى ، إذا كنت تقترب على طول الخط # س = -y # نحن لدينا

#f (0 + xi ، 0-xi) = -xi ^ 2 #

و حينئذ #(0,0)# هو الحد الأقصى على طول هذا الاتجاه ،

وهكذا #(0,0)# هو نقطة سرج.

إلى عن على # (1 / sqrt2،1 / sqrt2) # وينظر بسهولة ذلك

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # و # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

مما يعنى

#f (1 / sqrt 2 + xi ، 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

لذلك ، تقل الوظيفة مهما كانت طريقة الابتعاد عنها # (1 / sqrt 2،1 / sqrt 2) # وهذا هو الحد الأقصى المحلي. ينظر بسهولة إلى أن الشيء نفسه ينطبق على # (- 1 / sqrt2، -1 / sqrt2) # (كان يجب أن يكون ذلك واضح ا ، لأن الوظيفة تظل كما هي # (س ، ص) إلى (س س ، ص) #!

مرة أخرى ، على حد سواء # (1 / sqrt2، -1 / sqrt2) # و # (- 1 / sqrt2،1 / sqrt2) # نحن لدينا

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # و # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

لذلك ، كل هذه النقاط هي الحد الأدنى المحلي.

النقاط الأربع # (0 ، مساء 1 / sqrt2) # و # (مساء 1 / sqrt2 ، 0) # أكثر إشكالية - حيث أن جميع مشتقات الدرجة الثانية تتلاشى في هذه النقاط. علينا الآن أن ننظر إلى مشتقات النظام الأعلى. لحسن الحظ ، لا نحتاج حق ا إلى العمل الجاد من أجل هذا - العوائد المشتقة التالية

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

وهو غير صفري لكليهما # (0 ، مساء 1 / sqrt2) # و # (مساء 1 / sqrt2 ، 0) #. الآن ، هذا يعني ذلك ، على سبيل المثال

#f (0 + xi ، 1 / sqrt 2) = f (0،1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0،1 / sqrt2) } الحادي عشر ^ 3 + … #

مما يدل على أن هذا سوف يزيد من # f (0،1 / sqrt 2) # في اتجاه واحد ، وتنخفض منه في الآخر. وهكذا # (0،1 / sqrt2) # هي ** نقطة انعطاف. تعمل نفس الحجة للنقاط الثلاث الأخرى.