الدائرة A لها مركز في (3 ، 5) وتبلغ مساحتها 78 بي. الدائرة B لها مركز في (1 ، 2) وتبلغ مساحتها 54 pi. هل تتداخل الدوائر؟

إجابة:

نعم فعلا

تفسير:

أولا ، نحن بحاجة إلى المسافة بين المركزين ، وهو # D = الجذر التربيعي ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = الجذر التربيعي ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = الجذر التربيعي (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = الجذر التربيعي (9 + 4) = الجذر التربيعي (13) = 3.61 #

نحتاج الآن إلى مجموع نصف القطر ، لأن:

#D> (r_1 + r_2) ؛ "الدوائر لا تتداخل" #

# D = (r_1 + r_2) ؛ "الدوائر تلمس فقط" #

#D <(r_1 + r_2) ؛ "تتداخل الدوائر" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#، حتى تتداخل الدوائر.

البرهان:

الرسم البياني {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33 ، 19.67 ، -7.36 ، 12.64}

إجابة:

هذه تتداخل إذا #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

يمكننا تخطي الآلة الحاسبة والتحقق # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # أو #4(13)(54) > 11^2# الذي هو بالتأكيد ، لذلك نعم ، تتداخل.

تفسير:

منطقة الدائرة هي بالطبع #pi r ^ 2 # لذلك نحن نقسم ما لا مبرر له # بي #الصورة.

لقد تربيع نصف قطرها

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

والمسافة التربيعية بين المراكز

# د ^ 2 = (1/3) ^ 2 + (2/5) ^ 2 = 13 #

أساسا نريد أن نعرف إذا # r_1 + r_2 ge d #، على سبيل المثال ، إذا استطعنا إنشاء مثلث من نصفين وقطاع بين المراكز.

الأطوال المربعة كلها أعداد صحيحة لطيفة ومن الجنون أن نصل جميعنا غريزي ا إلى الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر ونبدأ في أخذ جذور مربعة.

ليس لدينا ، لكنه يتطلب بعض التفاف. دعنا نستخدم صيغة هيرون ، ندعو المنطقة # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # أين # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

هذا بالفعل أفضل من هيرون. لكننا نواصل. سوف أتخطى بعض الملل.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

هذا متماثل بشكل جيد ، كما نتوقع لصيغة المنطقة. دعونا نجعلها أقل متماثلة المظهر. اعد الاتصال

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

مضيفا،

# 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

هذه صيغة للمساحة المربعة لمثلث بالنظر إلى أطوال المربعات الجانبية. عندما تكون الأخيرة عقلانية ، فالأولى كذلك.

دعونا نجربها. نحن أحرار في تعيين الجوانب كما نحب ؛ لحساب اليد قصارى جهدها لجعل # ج # أكبر جانب ،

# c ^ 2 = 78 #

# ل^ 2 = 54 #

# ب ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

حتى قبل حسابها بعد الآن ، يمكننا أن نرى أن لدينا إيجابية # 16Q ^ 2 # لذلك مثلث حقيقي مع منطقة إيجابية ، لذلك الدوائر المتداخلة.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

إذا حصلنا على قيمة سالبة ، وهي منطقة وهمية ، فهذا ليس مثلث ا حقيقي ا ، لذلك دوائر غير متداخلة.