كيفية حساب مجموع هذا؟ sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

مع مراعاة #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

لكن # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # و

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # ثم

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

إجابة:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # متى # | س | <1 #

تفسير:

نبدأ بكتابة بعض المعاملات:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

أول شيء نريد أن ننظر إليه هو معاملات (درجة # # س يمكن تعديلها بسهولة عن طريق ضرب وتقسيم السلسلة على # # س، لذلك فهي ليست مهمة). نرى أنها كلها مضاعفات لاثنين ، حتى نتمكن من إبراز عامل اثنين:

# = 2 (س ^ 2-3x ^ 3 + 6X ^ 4-10x ^ 5 …) #

يمكن التعرف على المعاملات داخل هذا القوس كسلسلة ذات الحدين مع قوة # ألفا = -3 #:

# (1 + س) ^ ألفا = 1 + alphax + (ألفا (ألفا-1)) / (2!) س ^ 2 + (ألفا (ألفا-1) (ألفا-2)) / (3!) س ^ 3 … #

# (1 + س) ^ - 3 = 1-3x + 6X ^ 2-10x ^ 3 … #

نلاحظ أن الأسس لجميع المصطلحات الواردة في الأقواس أكبر بمقدار اثنين مقارنة بالسلسلة التي استخلصناها للتو ، لذلك يجب علينا مضاعفة # س ^ 2 # للحصول على السلسلة المناسبة:

# 2X ^ 2 (1 + س) ^ - 3 = 2X ^ 2-6x ^ 3 + 12X ^ 4-20x ^ 5 … #

هذا يعني أن سلسلتنا (عندما تتلاقى) تساوي:

# (2X ^ 2) / (1 + س) ^ 3 #

فقط للتحقق من أننا لم نرتكب خطأ ، يمكننا استخدام سلسلة Binomial بسرعة لحساب سلسلة من أجل # 2X ^ 2 (1 + س) ^ - 3 #:

# 2X ^ 2 (1 + س) ^ - 3 = 2X ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) س ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) س ^ 3 …) = #

# = 2X ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) س ^ 2- (5!) / (2 * 3!) س ^ 3 …) = #

# = 2X ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2X ^ 2- (5 * 4) / 2X ^ 3 …) = #

يمكننا وصف هذا النمط كما يلي:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (ن 1) س ^ ن #

منذ الفترة الأولى هي فقط #0#، يمكننا أن نكتب:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

وهي السلسلة التي بدأنا بها ، والتحقق من نتائجنا.

الآن نحتاج فقط إلى معرفة الفاصل الزمني للتقارب ، لمعرفة متى تكون للمسلسل قيمة فعلية. يمكننا القيام بذلك من خلال النظر في شروط التقارب لسلسلة ذات الحدين وإيجاد أن هذه السلسلة تتقارب عندما # | س | <1 #