إجابة:
انظر أدناه.
تفسير:
لسوء الحظ ، لن تتكامل الوظيفة داخل التكامل مع شيء لا يمكن التعبير عنه من حيث الوظائف الأولية. سوف تضطر إلى استخدام الطرق العددية للقيام بذلك.
يمكنني أن أوضح لك كيفية استخدام توسيع سلسلة للحصول على القيمة التقريبية.
ابدأ بالسلسلة الهندسية:
# 1 / (1-ص) = 1 + ص + ص ^ 2 + ص ^ 3 + ص ^ 4 = … sum_ (ن = 0) ^ ^ OOR ن # إلى عن على # # rlt1
الآن دمج فيما يتعلق # ص # واستخدام الحدود #0# و # # س للحصول على هذا:
# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #
دمج الجانب الأيسر:
# int_0 ^ X1 / (1-ص) الدكتور = - قانون الجنسية (1-ص) _ ^ 0 س = -ln (1-س) #
الآن دمج الجانب الأيمن عن طريق دمج مصطلح تلو الآخر:
# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #
# = س + س ^ 2/2 + س ^ 3/3 + س ^ 4/4 + … #
لذلك يتبع ذلك:
# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #
#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #
الان نقسم على # # س:
#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #
# = - 1-س / 2 س ^ 2/3-س ^ 3/4 … #
لذلك لدينا الآن تعبير سلسلة الطاقة للوظيفة التي بدأناها في الأصل. أخير ا ، يمكننا الاندماج مرة أخرى للحصول على:
# int_0 ^ 1ln (1-س) / س = int_0 ^ 1-1-س / 2 س ^ 2/3-س ^ 3/4 -… DX #
دمج المصطلح الأيمن من جانب المصطلح يعطينا:
# int_0 ^ 1ln (1-س) / س = - س-س ^ 2/4 س ^ 3/9-س ^ 16/4 … _ 0 ^ 1 #
سوف يمنحنا تقييم الحدود إلى أربعة فصول قيمة تقريبية:
# int_0 ^ 1ln (1-س) / س ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 16/4} - {0} #
#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#
الآن ، هذا هو فقط إلى أربعة فصول. إذا كنت تريد رقم ا أكثر دقة ، فما عليك سوى استخدام مصطلحات أكثر في السلسلة. على سبيل المثال ، انتقل إلى الفصل 100:
# int_0 ^ 1ln (1-س) /x
جانبا ، إذا كنت تعمل من خلال نفس العملية بالضبط ولكنك تستخدم علامة الجمع (بمعنى سيجما كبيرة بدلا من كتابة مصطلحات السلسلة) ستجد:
# int_0 ^ 1ln (1-س) / xdx = -sum_ (ن = 0) ^ oo1 / ن ^ 2 #
التي هي مجرد وظيفة ريمان زيتا 2 ، أي:
# int_0 ^ 1ln (1-س) / xdx = -sum_ (ن = 0) ^ oo1 / ن ^ 2 = -zeta (2) #
نحن نعرف بالفعل قيمة هذا ليكون: #zeta (2) = بي ^ 2/6 #.
وبالتالي يمكن استنتاج القيمة الدقيقة للتكامل لتكون:
# int_0 ^ 1ln (1-س) / xdx = -pi ^ 2/6 #
