دع S يكون مربع مساحة الوحدة. ضع في اعتبارك أي رباعي الأطراف له رأس واحد على كل جانب من جوانب S. إذا كانت a و b و c و d تدل على أطوال جانبي الرباعي ، فتثبت أن 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4؟

سمح #ا ب ت ث# يكون مربع من مساحة الوحدة.

وبالتالي # AB = BC = CD = DA = 1 # وحدة.

سمح # # PQRS يكون رباعي الأطراف الذي يحتوي على قمة واحدة على كل جانب من جوانب المربع. هنا اسمحوا # PQ = ب، ج = QR، RS = = dandSP و#

تطبيق فيثاغورس ثوريم يمكننا الكتابة

# ل^ 2 + ب ^ 2 + ج ^ 2 + د ^ 2 #

# = س ^ 2 + ص ^ 2 + (1-س) ^ 2 + (1-ث) ^ 2 + ث ^ 2 + (1-ض) ^ 2 + Z ^ 2 + (1-ص) ^ 2 #

# = 4 + 2 (س ^ 2 + ص ^ 2 + Z ^ 2 + ث ^ 2-س-ص-ض-ث) #

# = 2 + 2 (1 + س ^ 2 + ص ^ 2 + Z ^ 2 + ث ^ 2-س-ص-ض-ث) #

# = 2 + 2 ((X-1/2) ^ 2 + (ص 02/01) ^ 2 + (ض-1/2) ^ 2 + (ث-1/2) ^ 2) #

الآن بسبب المشكلة لدينا

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

بالتالي

# 2 <= ل^ 2 + ب ^ 2 + ج ^ 2 + د ^ 2 <= 4 #