كيف تجد جميع حلول 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0؟

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # إلى عن على

#x في {(3pi) / 2 + 2npi ، pi / 6 + 2npi ، (5pi) / 6 + 2npi} # أين #n في ZZ #

حل: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

أولا ، استبدال # cos ^ 2 x # بواسطة # (1 - الخطيئة ^ 2 ×) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

مكالمة # sin x = t #، نحن لدينا:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

هذه معادلة تربيعية للشكل # في ^ 2 + bt + c = 0 # التي يمكن حلها عن طريق الاختصار:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

أو العوملة ل # - (2T-1) (ر + 1) = 0 #

الجذر الحقيقي واحد هو # t_1 = -1 # والآخر هو # t_2 = 1/2 #.

التالي حل الدوال الثلاثية الأساسية:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# # rarr # x_1 = pi / 2 + 2npi # (إلى عن على #n في ZZ #)

و

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# # rarr # x_2 = pi / 6 + 2npi #

أو

# # rarr # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

تحقق مع المعادلة (1):

#cos (3pi / 2) = 0 ؛ الخطيئة (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (صيح)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2؛ الخطيئة (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (صيح)