التفريق عن المبدأ الأول س ^ 2sin (خ)؟

إجابة:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # من تعريف المشتق وأخذ بعض الحدود.

تفسير:

سمح #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. ثم

# (df) / dx = lim_ {h to 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

عن طريق الهوية المثلثية وبعض التبسيط. على هذه الأسطر الأربعة الأخيرة لدينا أربعة فصول.

الفصل الاول يساوي 0 ، منذ

#lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, والتي يمكن رؤيتها على سبيل المثال من توسيع تايلور أو حكم المستشفى.

ال الفصل الرابع كما تختفي ل

#lim_ {h to 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

الآن ال الفصل الثاني يبسط ل

# lim_ {h to 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h to 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, منذ

#lim_ {h to 0} (sin (h)) / h = 1 #، كما هو موضح هنا ، أو على سبيل المثال حكم مستشفى (انظر أدناه).

ال ولاية ثالثة يبسط ل

# lim_ {h to 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h to 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

التي بعد إضافة إلى الفصل الثاني يعطي ذلك

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

ملاحظة: وفق ا لحكم المستشفى ، منذ ذلك الحين # lim_ {h to 0} sin (h) = 0 # و # lim_ {h to 0} h = 0 # وكلا الوظيفتين مختلفة حولها # ح = 0 #، لدينا هذا

# lim_ {h to 0} sin (h) / h = lim_ {h to 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h to 0} cos (h) = 1 #.

الحد # lim_ {h to 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # يمكن أن تظهر بالمثل.