ما هو لوغاريتم رقم سالب؟

لا يتم تحديد لوغاريتمات الأرقام السالبة بالأرقام الحقيقية ، بالطريقة نفسها التي لا يتم بها تعريف الجذور المربعة للأرقام السالبة بالأرقام الحقيقية. إذا كان من المتوقع أن تجد سجل رقم سالب ، فإن إجابة "غير معر ف" كافية في معظم الحالات.

هذا هو ممكن لتقييم واحد ، ومع ذلك ، فإن الجواب سيكون عددا معقدا. (عدد من النموذج #a + bi #، أين # i = sqrt (-1) #)

إذا كنت على دراية بالأرقام المعقدة وتشعر بالراحة في العمل معها ، فاقرأ عليها.

أولا ، لنبدأ بالحالة العامة:

#log_b (-x) =؟

سنستخدم قاعدة تغيير القاعدة ونتحول إلى لوغاريتمات طبيعية ، لتسهيل الأمور في وقت لاحق:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

لاحظ أن #ln (-x) # هو نفس الشيء كما #ln (-1 * x) #. يمكننا استغلال خاصية إضافة اللوغاريتمات ، وفصل هذا الجزء إلى سجلين منفصلين:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

الآن المشكلة الوحيدة هي معرفة ما #ln (-1) # هو. قد يبدو الأمر مستحيل التقييم في البداية ، ولكن هناك معادلة مشهورة جد ا تعرف باسم هوية أويلر يمكنها مساعدتنا.

تحدد هوية أويلر:

# e ^ (ipi) = -1 #

وتأتي هذه النتيجة من التوسعات سلسلة السلطة الجيب وجيب التمام. (لن أشرح ذلك بتعمق شديد ، ولكن إذا كنت مهتم ا ، فهناك صفحة لطيفة تشرح المزيد قليلا)

الآن ، دعونا ببساطة نأخذ السجل الطبيعي لكلا جانبي هوية أويلر:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

مبسط:

#ipi = ln (-1) #

الآن ، بعد أن عرفنا ما #ln (-1) # هو ، يمكننا استبدال مرة أخرى في المعادلة لدينا:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

الآن لديك صيغة للعثور على سجلات الأرقام السالبة. لذلك ، إذا كنا نريد تقييم شيء من هذا القبيل # log_2 10 #، يمكننا ببساطة توصيل بعض القيم:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #