تثبت ما يلي؟

إجابة:

تحقق أدناه.

تفسير:

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2-1) DX> 0 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> int_1 ^ 2 (1) DX # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> س _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> 2-1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> 1 #

نحن بحاجة لإثبات ذلك

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> 1 #

النظر في وظيفة # F (س) = ه ^ س lnx #, # ضعف> 0 #

من الرسم البياني لل # # C_f يمكننا أن نلاحظ أن ل # ضعف> 0 #

نحن لدينا # ه ^ س lnx> 2 #

تفسير:

# F (س) = ه ^ س lnx #, # # س#في##1/2,1#

# F '(س) = ه ^ س 1 / س #

# F '(1/2) = sqrte-2 <0 #

# F '(1) = ه-1> 0 #

وفق ا لنظرية بولزانو (القيمة الوسيطة) لدينا # F '(x_0) = 0 # #<=># # ه ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# ه ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # x_0 = -lnx_0 #

المسافة العمودية بين # ه ^ س # و # # lnx هو الحد الأدنى عندما # F (x_0) = ه ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

نحن بحاجة لإظهار ذلك # F (خ)> 2 #, # # AAX#>0#

# F (خ)> 2 # #<=># # x_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# x_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (x_0-1) ^ 2> 0 # #-># صحيح ل # ضعف> 0 #

رسم بياني {e ^ x-lnx -6.96 ، 7.09 ، -1.6 ، 5.42}

# (ه ^ س lnx) / س ^ 2> 2 / س ^ 2 #

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> int_1 ^ 2 (2 / س ^ 2) DX # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> - 2 / س _1 ^ 2 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> ##-1+2# #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2) DX> 1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((ه ^ س lnx) / س ^ 2-1) DX> 0 #