الدائرة بها مركز يقع على الخط y = 7 / 2x +3 ويمر عبر (1 ، 2) و (8 ، 1). ما هي معادلة الدائرة؟

إجابة:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

تفسير:

النقطة أ #(1,2)# والنقطة ب #(8,1)# يجب أن تكون هي نفس المسافة (نصف قطر واحد) من مركز الدائرة

هذه هي الأكاذيب على خط النقاط (L) التي تكون جميعها متساوية البعد عن A و B

الصيغة لحساب المسافة (د) بين نقطتين (من فيثاغورس) هي # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

بديل في ما نعرفه عن النقطة A ونقطة تعسفية على L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

بديل في ما نعرفه عن النقطة B ونقطة تعسفية على L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

وبالتالي

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

توسيع الأقواس

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

تبسيط

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

النقطة المركزية تقع على الخط #y = 7x - 30 # (مجموعة النقاط متساوية البعد عن A و B)

وعلى الخط #y = 7x / 2 + 3 # (معطى)

حل حيث يعبر هذان الخطان للعثور على مركز الدائرة

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

بديلا في #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

مركز الدائرة في #(66/7, 36)#

يمكن الآن حساب نصف قطرها التربيعي للدائرة كـ

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

الصيغة العامة لدائرة أو دائرة نصف قطرها # ص # هو

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # مع المركز في ح ، ك

نحن نعرف الآن # ح #, #ك# و # ص ^ 2 # ويمكن أن تحل محلها في المعادلة العامة للدائرة

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

توسيع الأقواس

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

و تبسيط

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #