كيف تثبت (1 - خطيئة س) / (1 + خطيئة س) = (ثانية س + تان س) ^ 2؟

إجابة:

استخدام عدد قليل من الهويات حساب المثلثات وتبسيط. انظر أدناه.

تفسير:

أعتقد أن هناك خطأ في السؤال ، لكنه ليس مشكلة كبيرة. لكي يكون له معنى ، يجب قراءة السؤال:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

في كلتا الحالتين ، نبدأ بهذا التعبير:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(عند إثبات هويات علم حساب المثلثات ، من الأفضل عموم ا العمل على الجانب الذي به جزء صغير).

دعونا نستخدم خدعة أنيقة تسمى الضرب المتزامن ، حيث نضرب الكسر بالمقام المترافقة:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

اقتران # أ + ب # هو # على بعد ب #، وبالتالي فإن اقتران # 1 + sinx # هو # 1-sinx #. نحن نضرب ب # (1-sinx) / (1-sinx) # لتحقيق التوازن بين الكسر.

لاحظ أن # (1 + sinx) (1-sinx) # هو في الواقع اختلاف في المربعات ، والذي يحتوي على الخاصية:

# (أ-ب) (أ + ب) = أ ^ 2 ب ^ 2 #

هنا نرى ذلك # ل= 1 # و # ب = sinx #، وبالتالي:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-الخطيئة ^ 2X #

من هوية فيثاغورس # الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X = 1 #، يتبع ذلك (بعد الطرح # الخطيئة ^ 2X # من كلا الجانبين)، # كوس ^ 2X = 1-الخطيئة ^ 2X #.

واو ، لقد ذهبنا من # (1-sinx) / (1-sinx) # إلى # 1-الخطيئة ^ 2X # إلى # كوس ^ 2X #! الآن مشكلتنا تبدو مثل:

# (1-sinx) ^ 2 / كوس ^ 2X = (secx-tanx) ^ 2 #

دعنا نوسع البسط:

# (1-2sinx + الخطيئة ^ 2X) / كوس ^ 2X = (secx-tanx) ^ 2 #

(تذكر: # (أ-ب) ^ 2 = ل^ 2-2ab + ب ^ 2 #)

الآن ، سنقوم بتفتيت الكسور:

# 1 / جتا ^ 2x- (2sinx) / كوس ^ 2X + الخطيئة ^ 2X / كوس ^ 2X #

# = ثانية ^ 2X-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + الخطيئة ^ 2X / كوس ^ 2X #

# = ثانية ^ 2X-2tanxsecx + تان ^ 2X #

كيفية التبسيط أن ؟ حسنا ، تذكر عندما قلت "تذكر: # (أ-ب) ^ 2 = ل^ 2-2ab + ب ^ 2 #'?

لقد أتضح أن # ثانية ^ 2X-2tanxsecx + تان ^ 2X # هو في الواقع # (secx-tanx) ^ 2 #. إذا سمحنا # ل= secx # و # ب = # tanx، يمكننا أن نرى أن هذا التعبير هو:

#underbrace ((أ) ^ 2) _secx-2 (أ) (ب) + underbrace ((ب) ^ 2) _tanx #

التي ، كما قلت للتو ما يعادل # (أ-ب) ^ 2 #. يحل محل #ا# مع # # secx و #ب# مع # # tanx وتحصل على:

# ثانية ^ 2X-2tanxsecx + تان ^ 2X = (secx-tanx) ^ 2 #

وقد أكملنا الحضنة:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #