اجعل phi_n هو مولد الطاقة الطبيعي الذي تم تطبيعه بشكل صحيح لمذبذب التوافق ، ودع psi = hatahata ^ (†) phi_n. ما هو رطل يساوي؟

النظر في مذبذب التوافقي هاميلتون …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

الآن ، حدد البديل:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'" = hatp / sqrt (muomega) #

هذا يعطي:

#hatH = 1 / (2mu) (hatp "'" ^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'" ^ 2) / (muomega)) #

# = omega / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2) #

بعد ذلك ، فكر في الاستبدال حيث:

#hatx "''" = (hatx "'") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "''" = (hatp "'") / sqrt (ℏ) #

لهذا السبب # hatx "''"، hatp "''" = hatx "''" hatp "''" - hatp "''" hatx "''" = i #. هذا يعطي:

#hatH = omega / 2 (hatp "''" ^ 2cdotℏ + hatx "''" ^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp "''" ^ 2 + hatx "''" ^ 2) #

منذ #hatp "" "" ^ 2 # و #hatx "" "" ^ 2 # يمكن أن تؤخذ في الحسبان في منتج من اتحادات معقدة ، وتحديد مشغلي سلم

#hata = (hatx "''" + ihatp "'" ") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx "''" - ihatp "''") / sqrt2 #

لهذا السبب:

# hatahata ^ (†) = (hatx "''" ^ 2 - ihatx "''" hatp "''" + ihatp "''" hatx "''" + hatp "''" ^ 2) / 2 #

# = (hatx "''" ^ 2 + hatp "''" ^ 2) / 2 + (i hatp "''"، hatx "''") / 2 #

منذ # - hatx "''"، hatp "''" = hatp "''"، hatx "''" = -i #، أقصى اليمين هو #1/2#. عن طريق التفتيش ،

#hatH = أوميغا (hatahata ^ (†) - 1/2) #

يمكن أن يظهر ذلك # hata، hata ^ (†) = 1 #، وبالتالي

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

و حينئذ:

#color (أخضر) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

نحن هنا ندرك شكل طاقة ان نكون:

#E_n = أوميغا (n + 1/2) #

لأنه يتضح من هذا النموذج مع

#hatHphi_n = Ephi_n #,

لدينا فقط ذلك

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

وبالتالي ، فإن مشغل الرقم يمكن تعريفها على أنها:

#hatN = hata ^ (†) hata #

القيمة الذاتية هي العدد الكمومي # ن # لذلك eigenstate.

بالتالي،

#color (blue) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = اللون (الأزرق) ((1 + n) phi_n) #