طول السلسلة 20 سم مقطعة إلى قطعتين. يتم استخدام واحدة من القطع لتشكيل محيط مربع؟

إجابة:

# "الحد الأدنى للمساحة الكلية = 10.175 سم²." #

# "أقصى مساحة إجمالية = 25 سم ²." #

تفسير:

# "اسم س طول القطعة لتشكيل مربع." #

# "ثم مساحة المربع هي" (x / 4) ^ 2 "." #

# "محيط المثلث هو" 20 × "." #

# "إذا كانت y أحد الجوانب المتساوية للمثلث ، عندها لدينا" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20 x

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "إجمالي المساحة =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "هذا هو parabole والحد الأدنى ل parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "is" x = -b / (2 * a) "، إذا كانت <> 0." #

# "الحد الأقصى هو" x-> oo "، إذا كان <> 0." #

# "وبالتالي فإن الحد الأدنى هو" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 قدم مربع (2)) #

# = 160 * (14-4 قدم مربع (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7 قدم مربع (8)) #

# = 8.13965 "سم" #

# => "المساحة الكلية =" 10.175 "cm²." #

# "الحد الأقصى هو x = 0 أو x = 20." #

# "نحن نتحقق من المنطقة:" #

# "عندما" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "متى" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "وبالتالي فإن الحد الأقصى للمساحة الإجمالية هو 25 سم مربع." #

إجابة:

الحد الأدنى للمساحة هو #10.1756# والحد الأقصى هو #25#

تفسير:

محيط مثلث متساوي الساقين الزاوية اليمنى من الجانب #ا# هو # على + على + sqrt2a = و(2 + sqrt2) # ومساحتها هي # ل^ 2/2 #,

دع قطعة واحدة تكون # # س سم. من خلالها نحن تشكيل مثلث متساوي الساقين الزاوية اليمنى. من الواضح أن جانب مثلث متساوي الساقين الصحيح سيكون # س / (2 + sqrt2) # ومنطقتها ستكون

# س ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = س ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (س ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (س ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

محيط الجزء الآخر من السلسلة الذي يشكل مربع # (20-س) # وكجانب مربع هو # (20-س) / 4 # مساحتها هي # (20-س) ^ 2/16 # والمساحة الكلية # # T من الاثنين هو

# T = (20-س) ^ 2/16 + (س ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + س ^ 2) / 16 + (س ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5X) / 2 + س ^ 2 (16/01 + (3-2sqrt2) / 4) #

لاحظ ان # 3-2sqrt2> 0 #، وبالتالي معامل # س ^ 2 # هو إيجابي ، وبالتالي سيكون لدينا الحد الأدنى ويمكننا الكتابة # # T مثل

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (س ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (خ-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

مثل # 0.1054 (خ-11.8596) ^ 2 # دائما إيجابية ، لدينا الحد الأدنى لقيمة # # T متى # س = 11.8596 #.

لاحظ أنه من الناحية النظرية لا يوجد حد أقصى للوظيفة ، ولكن كقيمة # # س تقع بين #0,20#، وعندما # س = 0 #، نحن لدينا # T = 0.1054 (0-11،8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

وعندما # س = 20 # متى # T = 0.1054 (20-11،8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

وبالتالي الحد الأقصى هو #25#

رسم بياني {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92 ، 28.08 ، -0.96 ، 19.04}