أظهر أن المعادلة x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 لديها حل واحد بالضبط في [0 ، 1]؟

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

بادئ ذي بدء ، دعونا نحسب # F (س) = س ^ 4 + 2X ^ 2-2 # على حدود نطاقنا:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

إذا قمنا بحساب المشتق

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

يمكننا أن نرى أنه دائما إيجابي في #0,1#. في الواقع، # س ^ 2 + 1 # هو دائما إيجابي ، و # # 4X من الواضح أن إيجابية ، منذ ذلك الحين # # س هو إيجابي.

لذلك ، وظيفتنا تبدأ أدناه # # س محور ، منذ # F (0) <0 #وينتهي فوق # # س محور ، منذ # F (1)> 0 #. الوظيفة متعددة الحدود ، ولذا فهي مستمرة.

إذا كان الخط المستمر يبدأ أسفل المحور وينتهي أعلاه ، فهذا يعني أنه يجب أن يكون قد عبره في مكان ما بينهما. وحقيقة أن المشتق دائم ا إيجابي يعني أن الوظيفة تنمو دائم ا ، وبالتالي لا يمكنها عبور المحور مرتين ، وبالتالي البرهان.