كيف يمكنك دمج int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) باستخدام الكسور الجزئية؟

إجابة:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

تفسير:

قم بإعداد المعادلة لحل المتغيرات A و B و C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) DX #

دعنا نحل A و B و C أولا

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (س-1) (س + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((خ-1) (س + 1) ^ 2) #

تبسيط

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((خ-1) (س + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Axe ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (س + 1) ^ 2) #

إعادة ترتيب شروط الجانب الأيمن

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

لنقم بإعداد المعادلات لحل A و B و C عن طريق مطابقة المعاملات العددية للمصطلحات اليسرى واليمنى

# A + B = 4 "" #المعادلة الأولى

# 2A + C = 6 "" #المعادلة الثانية

# A-B-C = -2 "" #المعادلة الثالثة

الحل المتزامن باستخدام المعادلة الثانية والثالثة ل

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #المعادلة الرابعة

باستخدام الآن المعادلات الأولى والرابعة

# 3A-B = 4 "" #المعادلة الرابعة

# 3 (4-B) -B = 4 "" #المعادلة الرابعة

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = # -8

# B = 2 #

حل ل باستخدام # 3A-B = 4 "" #المعادلة الرابعة

# 3A-2 = 4 "" #المعادلة الرابعة

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

حل C باستخدام # 2A + C = 6 "" #المعادلة الثانية و # A = 2 # و # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #المعادلة الثانية

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 4/6 #

# C = 2 #

نحن الآن أداء التكامل لدينا

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) DX #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) DX #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

بارك الله فيكم ….. اتمنى التفسير مفيد

كيف يمكنك دمج int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) باستخدام الكسور الجزئية؟

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C نحتاج إلى العثور على A و B و C بحيث 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) لجميع x. اضرب كلا الجانبين ب x ^ 2 (2x-1) لتحصل على 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB معاملات المعادلة تعطينا {(2A + C = 0) ، (2B-A = 0) ، (- B = 1):} وبالتالي لدينا A = -2، B = -1، C = 4. استبدال هذا في المعادلة الأولية ، نحصل على 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 الآن ، قم بدمجها مصطلح ا بالمصطلح int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx للحصول على 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

كيف يمكنك دمج int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) باستخدام الكسور الجزئية؟

يجب أن تتحلل (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ككسر جزئي. أنت تبحث عن a و b و c في RR بحيث (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + ج / (س + 4). سأريكم كيفية العثور على فقط ، لأن b و c يمكن العثور عليهما بنفس الطريقة بالضبط. تضرب كلا الجانبين في x + 3 ، وهذا سيجعله يختفي من مقام الجانب الأيسر ويجعله يظهر بجوار b و c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). قمت بتقييم هذا في x-3 من أجل جعل b و c تختفي وتجد a. x = -3 iff 12/9 = 4/3 = a. أنت تفعل الشيء نفسه بالنسبة إلى b و c ، إلا أنك تضرب كلا الجا

كيف يمكنك دمج int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) باستخدام الكسور الجزئية؟

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x