هلا ساعدتني؟ int_0 ^ (بي / 2) (ه ^ (2X) * sinx) DX

إجابة:

# = (2E ^ (بي) +1) / 5 #

تفسير:

وهذا يتطلب التكامل عن طريق الأجزاء على النحو التالي. سيتم حذف الحدود حتى النهاية

#int (ه ^ (2X) sinx) DX #

#COLOR (أحمر) (I = intu (DV) / (DX) DX) = الأشعة فوق البنفسجية INTV (دو) / (DV) DX #

# ش = ه ^ (2X) => دو = 2E ^ (2X) DX #

# (DV) / (DX) = sinx => ت = # -cosx

#COLOR (أحمر) (I) = - ه ^ (2X) cosx + int2e ^ (2X) cosxdx #

ويتم أيضا لا يتجزأ الثاني من أجزاء

# ش = 2E ^ (2X) => دو = 4E ^ (2X) DX #

# (DV) / (DX) = cosx => ت = sinx #

#COLOR (أحمر) (I) = - ه ^ (2X) cosx + 2E ^ (2X) sinx-int4e ^ (2X) sinxdx #

#COLOR (أحمر) (I) = - ه ^ (2X) cosx + 2E ^ (2X) sinx-4color (أحمر) (I) #

#:. 5I = ه ^ (2X) (2sinx-cosx) #

# I = (ه ^ (2X) (2sinx-cosx)) / 5 #

الآن وضع الحدود في

#I = (ه ^ (2X) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (بي / 2) #

# = (ه ^ بي ((2sin (بي / 2) -cos (بي / 2))) / 5) - (ه ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2E ^ (بي) +1) / 5 #

إجابة:

# {2E ^ بي + 1} / 5 #

تفسير:

في حين أن الإجابة المقدمة بالفعل مثالية ، أردت فقط أن أوضح طريقة أسهل للوصول إلى نفس الإجابة باستخدام نهج أكثر تقدما بقليل - وذلك من خلال الأرقام المعقدة.

نبدأ مع العلاقة الشهيرة

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

أين # ط = الجذر التربيعي {-1} #ولاحظ أن هذا يعني ذلك

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) تعني e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

أين # # ايم يدل على الجزء الخيالي.

وبالتالي

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ أنا})#

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} مرات {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) مرات (-1) + e ^ pi times 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #