كيف يمكنك العثور على دالة تربيعية f (x) = ax² + bx + c مع إعطاء الحد الأدنى للقيمة -4 عندما x = 3؛ صفر واحد هو 6؟

إجابة:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

تفسير:

الدوال التربيعية متماثلة حول خط قمة الرأس ، أي عند x = 3 لذلك يشير هذا إلى أن الصفر الآخر سيكون في x = 0.

نعلم أن قمة الرأس تحدث عند x = 3 وبالتالي فإن المشتق الأول للوظيفة التي تم تقييمها عند x = 3 سيكون صفرا.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

نحن نعرف أيض ا قيمة الوظيفة نفسها في x = 3 ،

#f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

لدينا معادلتان لكن ثلاثة مجهولة ، لذلك سنحتاج إلى معادلة أخرى. انظر إلى الصفر المعروف:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

لدينا نظام المعادلات الآن:

# ((6 ، 1 ، 0) ، (9،3،1) ، (36،6،1)) ((أ) ، (ب) ، (ج)) = ((0) ، (- 4) ، (0)) #

لقراءة الحلول ، نريد تقليل مصفوفة المعامل لدينا لتقليل مستوى النموذج باستخدام عمليات الصف الأولي.

اضرب الصف الأول في #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

إضافة #-9# أضعاف الصف الأول إلى الصف الثاني:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

إضافة #-36# أضعاف الصف الأول إلى الثالث:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

اضرب الصف الثاني في #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

إضافة #-2/3# أضعاف الصف الثالث إلى الصف الثاني:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

إضافة #-1/6# مرات من الثاني إلى الأول

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

القيام بهذه السلسلة من العمليات لمتجه الحلول يعطي:

#((4/9),(-8/3),(0))#

لذلك قراءة قبالة الحلول لدينا # a = 4/9 و b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

الرسم البياني {4/9 س ^ 2 - 8/3 x -7.205 ، 12.795 ، -5.2 ، 4.8}