كيف تجد تقريب خطي للجذر (4) (84)؟

إجابة:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

تفسير:

لاحظ أن #3^4 = 81#وهو قريب من #84#.

وبالتالي #root (4) (84) # أكبر قليلا من #3#.

للحصول على تقريب أفضل ، يمكننا استخدام تقريب خطي ، مثل طريقة نيوتن.

حدد:

#f (x) = x ^ 4-84 #

ثم:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

ونظرا لصفر تقريبي # س = A # من # F (خ) #، التقريب الأفضل هو:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

لذلك في حالتنا ، وضع # ل= 3 #، التقريب الأفضل هو:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

هذا هو تقريبا دقيقة ل #4# شخصيات مهمة ، ولكن دعنا نقتبس من التقريب كـ #3.03#

إجابة:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

تفسير:

لاحظ أن التقريب الخطي بالقرب من نقطة #ا# يمكن إعطاء بواسطة:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

إذا أعطيت: #f (x) = الجذر (4) (x) #

ثم اختيار مناسب ل #ا# سيكون # ل= 81 # لأننا نعرف #root (4) 81 = 3 # بالضبط وهو قريب من #84#.

وبالتالي:

#f (a) = f (81) = الجذر (4) (81) = 3 #

أيضا؛

#f (x) = x ^ (1/4) # وبالتالي #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

لذلك يمكننا التقريب (قرب #81#):

# F (خ) ~~ و (أ) + و '(أ) (س-أ) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

وبالتالي:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

القيمة الأكثر دقة هي #3.02740#

لذلك التقريب الخطي قريب إلى حد ما.

إجابة:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

تفسير:

يمكننا القول أن لدينا وظيفة من #f (x) = الجذر (4) (x) #

و # الجذر (4) (84) = f (84) #

الآن ، دعونا نجد مشتق من وظيفتنا.

نستخدم قاعدة القوة ، التي تنص على أنه إذا # F (س) = س ^ ن #، ثم # F '(س) = NX ^ (ن 1) # أين # ن # هو ثابت.

# F (س) = س ^ (1/4) #

=># F '(س) = 1/4 * س ^ (1 / 4-1) #

=># F '(س) = (س ^ (- 3/4)) / 4 #

=># F '(س) = 1 / س ^ (3/4) * 1/4 #

=># F '(س) = 1 / (4X ^ (3/4)) #

الآن ، لتقريب # الجذر (4) (84) #، نحاول العثور على القوة الرابعة المثالية الأقرب إلى 84

لنرى…

#1#

#16#

#81#

#256#

نحن نرى ذلك #81# هو الأقرب لنا.

نجد الآن خط الظل من وظيفتنا عندما # س = 81 #

=># F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=># F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=># F '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=># F '(81) = 1/108 #

هذا هو المنحدر الذي نبحث عنه.

دعنا نحاول أن نكتب معادلة خط الظل في النموذج # ص = م × + ب #

حسنا ، ما هو # ذ # يساوي متى # س = 81 #?

لنرى…

# F (81) = الجذر (4) (81) #

=># F (81) = 3 #

لذلك ، لدينا الآن:

# 3 = M81 + ب # نحن نعلم أن المنحدر ، # م #، هو #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + ب # يمكننا الآن حل ل #ب#.

=># 3 = 81/108 + ب #

=># 3 = 3/4 + ب #

=># 2 1/4 = ب #

لذلك ، معادلة خط الظل # ذ = 1/108 × + 2 1/4 #

نستخدم الآن 84 في مكان # # س.

=># ذ = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># ذ = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># ص = 7/9 + 9/4 #

=># ص = 28/36 + 81/36 #

=># ذ = 109/36 #

=># ذ = 3.02bar7 #

وبالتالي، #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #