ما هي الحقيقة الممتعة والمفيدة والرياضية التي تعلم أنها لا تدرس عادة في المدرسة؟

إجابة:

كيفية تقييم "أبراج الأسس" ، مثل #2^(2^(2^2))#، وكيفية العمل على الرقم الأخير من # 2 ^ ن، # # # ninNN.

تفسير:

من أجل تقييم هذه "الأبراج" ، نبدأ من الأعلى ونعمل في طريقنا إلى أسفل.

وبالتالي:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

في ملاحظة مماثلة ، ولكن لا علاقة لها ببعض الشيء ، أعرف أيض ا كيفية معرفة الأرقام الأخيرة من #2# رفعت إلى أي الأس الطبيعية. الرقم الأخير من #2# رفعت إلى شيء دائم ا بين أربع قيم: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

حتى إذا كنت تريد العثور على الرقم الأخير من # 2 ^ ن #، ابحث عن المكان الذي توجد فيه في الدورة ، وستعرف رقمه الأخير.

إجابة:

إذا #n> 0 # و #ا# هو تقريب ل #sqrt (ن) #، ثم:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

أين #b = n-a ^ 2 #

تفسير:

لنفترض أننا نريد العثور على الجذر التربيعي لبعض الأرقام #n> 0 #.

علاوة على ذلك ، نود أن تكون النتيجة نوع ا من الكسور المستمرة التي تتكرر في كل خطوة.

محاولة:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

#color (أبيض) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))) #

#color (أبيض) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

طرح #ا# من كلا الطرفين للحصول على:

#sqrt (ن) -a = ب / (أ + الجذر التربيعي (ن)) #

اضرب كلا الجانبين ب #sqrt (ن) + ل# للحصول على:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

حتى إذا # ل^ 2 # هو أقل قليلا من # ن #، ثم #ب# سوف تكون صغيرة والكسر المستمر سوف تتلاقى بشكل أسرع.

على سبيل المثال ، إذا كان لدينا # ن = 28 # و اختار # ل= 5 #، ثم نحصل على:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

وبالتالي:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))) #

مما يعطينا تقريب ا:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

آلة حاسبة تقول لي #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

لذلك هذا لا يتقارب بسرعة خاصة.

بدلا من ذلك ، قد نضع # ن = 28 # و # ل= 127/24 # لايجاد:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

وبالتالي:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…)))) #

يعطينا التقريب:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

هذا التقارب أسرع بكثير.

إجابة:

يمكنك العثور على تقريبية للجذور التربيعية باستخدام تسلسل محدد بشكل متكرر.

تفسير:

#اللون الابيض)()#

طريقة

إعطاء عدد صحيح إيجابي # ن # وهو ليس مربع ا مثالي ا:

• سمح #p = floor (sqrt (n)) # يكون أكبر عدد صحيح موجب لا يتجاوز مربعه # ن #.

• سمح #q = n-p ^ 2 #

• حدد سلسلة من الأعداد الصحيحة عن طريق:

  # {(a_1 = 1) ، (a_2 = 2p) ، (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "لـ" i> = 1):} #

ثم تميل النسبة بين المصطلحات المتتابعة للتسلسل نحو # ف + الجذر التربيعي (ن) #

#اللون الابيض)()#

مثال

سمح # ن = 7 #.

ثم #p = floor (sqrt (7)) = 2 #، منذ #2^2=4 < 7# لكن #3^2 = 9 > 7#.

ثم # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

لذلك يبدأ تسلسلنا:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

من الناحية النظرية ، يجب أن تميل النسبة بين المصطلحات المتتالية # 2 + الجذر التربيعي (7) #

لنرى:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

لاحظ أن # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#اللون الابيض)()#

كيف تعمل

لنفترض أن لدينا تسلسل محدد بواسطة قيم معينة لـ # a_1 ، a_2 # وقاعدة:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

لبعض الثوابت # ف # و # ف #.

النظر في المعادلة:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

جذور هذه المعادلة هي:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

ثم أي تسلسل مع مصطلح عام # Ax_1 ^ ن + Bx_2 ^ ن # سوف ترضي قاعدة التكرار التي حددناها.

حل المقبل:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1) ، (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

إلى عن على #ا# و #ب#.

نجد:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

وبالتالي:

# A = (a_1x_2-a_2) / (X_1 (x_2-X_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (X_1-x_2)) #

لذلك مع هذه القيم من # x_1 ، x_2 ، A ، B # نحن لدينا:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

إذا #q <3p ^ 2 # ثم #abs (x_2) <1 # والنسبة بين المصطلحات المتعاقبة تميل نحو # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

إجابة:

تقسيم وحدات

تفسير:

التقسيم المعياري هو نفسه التقسيم باستثناء الإجابة هي الباقي بدلا من القيمة الفعلية. بدلا من #-:# رمز ، يمكنك استخدام #%# رمز.

على سبيل المثال ، عادة ، إذا كنت ترغب في حلها #16-:5# سوف تحصل عليه #3# بقية #1# أو #3.2#. ومع ذلك ، باستخدام تقسيم وحدات ، #16%5=1#.

إجابة:

تقييم المربعات مع الملخصات

تفسير:

عادة ، يجب أن تعرف المربعات مثل #5^2=25#. ومع ذلك ، عندما تصبح الأرقام أكبر مثل #25^2#، يصبح من الصعب معرفة الجزء العلوي من رأسك.

أدركت أنه بعد فترة من الوقت ، الساحات هي مجرد مبالغ من الأرقام الفردية.

ما أعنيه هو هذا:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # أين #ك# هي القيمة الأساسية ناقص #1#

وبالتالي #5^2# يمكن أن يكتب على النحو التالي:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

سوف يعطيك هذا:

#1+3+5+7+9#

هذا ، في الواقع ، هو #25#.

لأن الأرقام تزداد دائما من قبل #2#، يمكنني بعد ذلك إضافة الرقم الأول والأخير ، ثم ضرب ب # ك / 2 #.

وذلك ل #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

لذلك يمكنني أن أفعل فقط #(49+1)(25/2)# واحصل على #25^2# الذي #625#.

انها ليست عملية حقا ولكن من المثير للاهتمام أن نعرف.

#اللون الابيض)()#

علاوة

مع العلم أن:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n Terms" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

يسمح لنا بحل بعض المشاكل حول الاختلافات في المربعات.

على سبيل المثال ، ما هي جميع الحلول في الأعداد الصحيحة الموجبة # م ، ن # من # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

هذا يقلل من العثور على ما تضيفه أعداد صحيحة غريبة متتالية #40#…

# 40 = تجاوز الحد (19 + 21) ^ "متوسط 20" #

#color (أبيض) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (أبيض) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

# اللون (أبيض) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = تجاوز الحد (7 + 9 + 11 + 13) ^ "المتوسط 10" #

# اللون (أبيض) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (أبيض) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

# اللون (أبيض) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #