ما هو جزء لا يتجزأ من ^ ^ (س ^ 3)؟

لا يمكنك التعبير عن هذا التكامل من حيث الوظائف الأولية.

بناء على ما تحتاجه من أجل التكامل ، يمكنك اختيار طريقة التكامل أو طريقة أخرى.

التكامل عبر سلسلة الطاقة

أذكر ذلك # ه ^ س # هو التحليلي على #mathbb {R} #، وبالتالي #forall x in mathbb {R} # المساواة التالية تحمل

# ه ^ س = sum_ {ن = 0} ^ {+} infty س ^ ن / ن {!} #

وهذا يعني ذلك

# ه ^ {س ^ 3} = sum_ {ن = 0} ^ {+ infty} (س ^ 3) ^ ن / {ن!} = sum_ {ن = 0} ^ {+ infty} {س ^ {3N} } / {ن!} #

الآن يمكنك دمج:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {س ^ {3N + 1}} / {(3N + 1) ن!} #

التكامل عبر وظيفة جاما غير المكتملة

أولا ، بديلا # ر = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

الوظيفة # ه ^ {س ^ 3} # مستمر. وهذا يعني أن وظائفها البدائية هي #F: mathbb {R} إلى mathbb {R} # مثل ذلك

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

وهذا واضح المعالم لأن الوظيفة # F (ر) = ه ^ {- ر} ر ^ {- 2/3} # هل هذا ل #t إلى 0 # انها تحمل #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #، بحيث لا يتجزأ غير صحيح # int_0 ^ s f (t) dt # محدود (أسميه # ق = -y ^ 3 #).

لذلك لديك هذا

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

لاحظ ذلك #t ^ {- 2/3} <1 ساعة ر> 1 #. هذا يعني أن ل #t إلى + infty # لقد حصلنا على ذلك #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #، لهذا السبب # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. حتى بعد جزء لا يتجزأ من # F (ر) # محدود

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

يمكننا الكتابة:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

هذا هو

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

في النهاية نحصل عليه

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3، t) = C + 1/3 Gamma (1/3، -x ^ 3) #