كيف يمكنك العثور على القيمة الدقيقة لـ cos58 باستخدام الصيغ والاختلاف ، الزاوية المزدوجة أو نصف الزاوية الزاوية؟

إجابة:

انها بالضبط واحدة من جذور #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # أين #T_n (خ) # هل # ن #عشر Chebyshev متعدد الحدود من النوع الأول. هذا واحد من ستة وأربعين جذور:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598980456654402807 326807 326807 326807 327 48280 3280 326 327 32680 328 307 302 64 30 9 9 9 9 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 ^ ^ 10 + 7 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - ((35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255102953984 x 17 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992660 2400 20 20 2288 2 910 9 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

تفسير:

# 58 ^ CIRC # ليس مضاعفا # 3 ^ CIRC #. مضاعفات # 1 ^ CIRC # هذه ليست مضاعفات # 3 ^ CIRC # ليست قابلة للبناء مع الحواف والبوصلة ، ووظائف علم حساب المثلثات ليست نتيجة لبعض تكوين الأعداد الصحيحة باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة والجذر التربيعي.

هذا لا يعني أننا لا نستطيع أن نكتب بعض التعبير عنه #cos 58 ^ circ #. لنأخذ علامة الدرجة لنعني عامل # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

ليس هذا مفيد ا.

يمكننا محاولة كتابة معادلة متعددة الحدود واحدة من جذورها #cos 58 ^ circ # ولكن من المحتمل أن يكون حجمه أكبر من اللازم.

# ثيتا = 2 ^ CIRC # هو #180#عشر من الدائرة. منذ #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # هذا يعني #cos 2 ^ circ # يرضي

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #

دعونا حل هذا ل # # ثيتا أول. #cos x = cos a # له جذور # x = pm a + 360 ^ circ k، # عدد صحيح #ك#.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k أو theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

هذا كثير من الجذور ، ونحن نرى # ثيتا = 58 ^ CIRC # بينهم.

كثيرات الحدود #T_n (خ) #، ودعا Chebyshev متعددو الحدود من النوع الأول ، إرضاء #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. لديهم معاملات عدد صحيح. نحن نعرف أول عدد قليل من الصيغ زاوية مزدوجة وثلاثية:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # وبالتالي# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad # وبالتالي# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - quad quad # وبالتالي # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad # وبالتالي # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

هناك علاقة عودية لطيفة يمكننا التحقق منها:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

لذلك من الناحية النظرية يمكننا أن نولدها بنفس الحجم # ن # كما نهتم.

إذا سمحنا # س = كوس ثيتا ، # معادلة لدينا

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

يصبح

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

يسعد Wolfram Alpha أن يخبرنا ما هي هذه الأشياء. سأكتب المعادلة فقط لاختبار تقديم الرياضيات:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598980456654402807 326807 326807 326807 327 48280 3280 326 327 32680 328 307 302 64 30 9 9 9 9 + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 ^ ^ 10 + 7 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - ((35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255102953984 x 17 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992660 2400 20 20 2288 2 910 9 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

نعم ، هذه الإجابة تزداد ، شكر ا سقراط. على أية حال ، واحدة من جذور تلك الدرجة 46 متعددة الحدود مع معاملات عدد صحيح هي # cos 58 ^ circ #.