إجابة:
أجبت بالفعل هنا.
تفسير:
تحتاج إلى البحث لأول مرة # sin18 ^ @ #، والتي تتوفر التفاصيل هنا.
ثم يمكنك الحصول عليها # cos36 ^ @ # كما هو موضح هنا.
إجابة:
نحن نحل #cos (2 theta) = cos (3 theta) # أو # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # إلى عن على # x = cos 144 ^ circ # واحصل على #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
تفسير:
نحن نحصل #cos 36 ^ circ # أقل ما يقال بشكل غير مباشر من صيغة زاوية مزدوجة وثلاثية لجيب التمام. إنه لأمر رائع كيف يتم ذلك ، ولها نهاية مفاجئة.
سوف نركز على #cos 72 ^ circ #. الزاوية # ثيتا = 72 ^ CIRC # يرضي
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
دعونا حل هذا ل # # ثيتا، مذكرا #cos x = cos a # لديه حلول #x = pm a + 360 ^ circ k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # أو # - = = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
ويشمل ذلك # 360 ^ circ k # حتى نتمكن من إسقاط الجزء "أو".
أنا لا أكتب لغز ا هنا (على الرغم من النهاية المفاجئة) لذلك سأذكر ذلك #cos (2 (72 ^ circ)) = cos (144 ^ circ) = - cos (36 ^ circ) # هو أيض ا حل صالح ونرى مدى ارتباطه بالسؤال.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
الآن دع # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
نعلم # x = cos (0 times 72 ^ circ) = 1 # هو الحل ذلك # (خ-1) # هو عامل:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
من الدرجة الثانية له جذور
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
الإيجابية يجب أن تكون #cos 72 ^ circ # والآخر سلبي #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
هذا هو الجواب. المفاجأة أنها نصف النسبة الذهبية!
