ما هو الحل للمعادلة التفاضلية dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2؟

إجابة:

الحل العام هو:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

تفسير:

نحن لدينا:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

يمكننا جمع مصطلحات للمتغيرات المماثلة:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

وهي معادلة تفاضلية غير خطية عادية من الدرجة الأولى قابلة للفصل ، حتى نتمكن من ذلك "فصل المتغيرات" للحصول على:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

يعد كلا التكاملين من الوظائف القياسية ، لذا يمكننا استخدام هذه المعرفة لدمج مباشر:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

ويمكننا إعادة ترتيب بسهولة ل # ذ #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

مما يؤدي إلى الحل العام:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

إجابة:

# ص = -1 / (ه ^ ر + C) + 1 #

تفسير:

هذه معادلة تفاضلية قابلة للفصل ، مما يعني أنه يمكن كتابتها بالشكل:

# دى / DX * و (ذ) = ز (خ) #

يمكن حلها عن طريق دمج كلا الجانبين:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

في حالتنا ، نحتاج أولا إلى فصل التكامل في الشكل الصحيح. يمكننا القيام بذلك عن طريق تقسيم كلا الجانبين على # (ص 1) ^ 2 #:

# دى / دينارا * 1 / (ص 1) ^ 2 = ه ^ tcancel ((ذ-1) ^ 2 / (ص 1) ^ 2) #

# دى / دينارا * 1 / (ص 1) ^ 2 = ه ^ ر #

الآن يمكننا دمج كلا الجانبين:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

يمكننا حل اليد اليسرى لا يتجزأ مع استبدال # ش = ص 1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# ش ^ -1 / (- 1) + C_2 = ه ^ ر + C_1 #

إعادة التشكيل (والجمع بين الثوابت) يعطي:

# -1 / (ص 1) = ه ^ ر + C_3 #

اضرب كلا الجانبين ب # ص # 1:

# -1 = (ه ^ ر + C_3) (ص 1) #

اقسم كلا الجانبين على # ه ^ ر + C_3 #:

# -1 / (ه ^ ر + C_3) = ص 1 #

# ص = -1 / (ه ^ ر + C) + 1 #