ما هو الحل العام للمعادلة التفاضلية y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0؟

# "المعادلة المميزة هي:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "قرص الربع. مكافئ = 1 - 16 = -15 <0" #

# "لذلك لدينا حلان معقدان ، هما" #

#z = (1 مساء sqrt (15) i) / 2 #

# "لذا فإن الحل العام للمعادلة المتجانسة هو:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "الحل الخاص للمعادلة الكاملة هو" #

# "ص = س ،" #

# "هذا سهل الرؤية."

# "وبالتالي فإن الحل الكامل هو:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

إجابة:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

تفسير:

نحن لدينا:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

أو بدلا من ذلك:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. ا

هذا ال الثالث طلب معادلة التمايز الخطية غير المتجانسة مع معاملات ثابتة. النهج القياسي هو إيجاد حل ، # # y_c للمعادلة المتجانسة من خلال النظر إلى المعادلة المساعدة ، وهي المعادلة متعددة الحدود مع معاملات المشتقات ، ومن ثم إيجاد حل خاص مستقل ، # # y_p من المعادلة غير متجانسة.

تحدد جذور المعادلة المساعدة أجزاء من الحل ، والتي إذا كانت مستقلة خطي ا ، فإن تراكب الحلول يشكل الحل العام الكامل.

• جذور مميزة حقيقية # م = ألفا ، تجريبي ، … # سوف تسفر عن حلول مستقلة خطيا من النموذج # y_1 = عزت ^ (alphax) #, # y_2 = كن ^ (betax) #, …
• جذور حقيقية متكررة # م = ألفا #، سوف تسفر عن حل للنموذج # ص = (فأس + B) ه ^ (alphax) # حيث كثير الحدود لديه نفس درجة التكرار.
• جذور معقدة (والتي يجب أن تحدث كأزواج زوجية) # م = ص + -qi # سوف تسفر عن أزواج حلول مستقلة خطيا من النموذج # ص = ه ^ (بكسل) (ACOS (QX) + Bsin (QX)) #

حل خاص

من أجل إيجاد حل معين للمعادلة غير المتجانسة:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # مع #f (x) = 4 # ….. C

ثم كما # F (خ) # هو متعدد الحدود من الدرجة #0#، سوف نبحث عن حل متعدد الحدود من نفس الدرجة ، أي من النموذج #y = a #

ومع ذلك ، فإن هذا الحل موجود بالفعل في حل التليف الكيسي وبالتالي يجب أن يأخذ في الاعتبار الحل المحتمل للنموذج # ص = الفأس #، أين الثوابت #ا# يتم تحديده بواسطة الاستبدال المباشر والمقارنة:

التفريق # ص = الفأس # WRT # # س نحن نحصل:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

استبدال هذه النتائج في DE A نحصل على:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

وبالتالي نحن نشكل الحل الخاص:

# y_p = x #

الحل العام

مما يؤدي بعد ذلك إلى GS لـ A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

لاحظ هذا الحل لديه #3# ثوابت التكامل و #3# حلول مستقلة خطيا ، وبالتالي من خلال نظرية الوجود والتفرد تراكبهم هو الحل العام