ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))؟

إجابة:

# {: ("نقطة حرجة" ، "استنتاج") ، ((0،0،0) ، "سرج"):} #

تفسير:

نظرية التعرف على الانبثاق # ض = و (س، ص) # هو:

1. حل في وقت واحد المعادلات الحرجة

   # (جزئي f) / (جزئي x) = (جزئي f) / (جزئي y) = 0 # (أي # f_x = f_y = 0 #)

2. تقييم #f_ (x x) ، f_ (yy) و f_ (xy) (= f_ (yx)) # في كل من هذه النقاط الحرجة. وبالتالي تقييم # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # في كل من هذه النقاط
3. تحديد طبيعة extrema.

   # {: (Delta> 0 ، "هناك حد أدنى إذا كان" f_ (xx) <0) ، (، "والحد الأقصى إذا كان" f_ (yy)> 0) ، (Delta <0 ، "هناك نقطة سرج")) ، (دلتا = 0 ، "مزيد من التحليل ضروري"):} #

اذا لدينا:

# f (x، y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

دعونا نجد المشتقات الجزئية الأولى:

# (جزئي f) / (جزئي x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (جزئي f) / (جزئي y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

لذلك المعادلات الحرجة لدينا هي:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

من هذه المعادلات لدينا:

# ذ = 0 # أو # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# س = 0 # أو # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

والحل المتزامن الوحيد هو # س = ص = 0 #

و هكذا لدينا واحد نقطة حرجة في الأصل

لذا ، دعونا الآن نلقي نظرة على المشتقات الجزئية الثانية حتى نتمكن من تحديد طبيعة النقطة الحرجة (سأقتبس هذه النتائج فقط):

# (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (جزئي ^ 2f) / (جزئي x جزئي y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (جزئي ^ 2f) / (جزئي ص جزئي x)) #

ويجب علينا حساب:

# Delta = (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) - ((جزئي ^ 2f) / (جزئي x جزئي y)) ^ 2 #

في كل نقطة حرجة. القيم المشتقة الجزئية الثانية ، # دلتا #و الخاتمة كالتالي:

# {: ("Critical Point" ، (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) ، (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) ، (جزئي ^ 2f) / (جزئي x جزئي y) ، دلتا ، "الاستنتاج") ، ((0،0،0) ، 0،0 ، 0 ، = 0 ، "غير شامل"):} #

لذلك بعد كل هذا العمل ، من المخيب للآمال أن نحصل على نتيجة شاملة ، ولكن إذا درسنا السلوك حول النقطة الحرجة ، يمكننا أن نثبت بسهولة أنها نقطة سرج.

يمكننا أن نرى هذه النقاط الحرجة إذا نظرنا إلى مؤامرة ثلاثية الأبعاد: