ما هي أكبر أسطوانة من دائرة نصف قطرها ، ص والارتفاع ح يمكن أن يصلح في مجال دائرة نصف قطرها ، R؟

إجابة:

تم العثور على الحد الأقصى لحجم الاسطوانة إذا اخترنا ذلك

# r = sqrt (2/3) R #و #h = (2R) / sqrt (3) #

يؤدي هذا الاختيار إلى الحد الأقصى لحجم الاسطوانة:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

تفسير:

``

تخيل مقطع ا عرضي ا من خلال مركز الأسطوانة ، واترك للاسطوانة ارتفاع ا # ح #، والحجم #الخامس#، إذن لدينا؛

# ح # و # ص # يمكن أن تكون متنوعة و # R # هو ثابت. يتم إعطاء حجم الاسطوانة بواسطة الصيغة القياسية:

# V = البير ^ 2H #

نصف قطر الكرة ، # R # هو الوتر من المثلث مع الجانبين # ص # و # 1 / 2H #، لذلك باستخدام فيثاغورس ، لدينا:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

يمكننا استبدال هذا في معادلة حجمنا للحصول على:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

لدينا الآن حجم ، #الخامس# كدالة لمتغير واحد # ح #، والتي نسعى لتحقيق أقصى قدر من wrt # ح # التفريق حتى wrt # ح # يعطي:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

على الأقل أو الحد الأقصى ، # (DV) / (درهم) = 0 # وبالتالي:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (من الواضح أننا نريد جذر te + ve)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

مع هذه القيمة من # ح # نحن نحصل:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

يجب أن نتحقق من أن هذه القيمة تؤدي إلى الحد الأقصى (وليس الحد الأقصى) لوحدة التخزين ، ونحن نفعل ذلك من خلال النظر إلى المشتق الثاني:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

و كما # س> 0 # نستنتج أن # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # وأن النقطة الحرجة المحددة تؤدي إلى الحد الأقصى كما هو مطلوب.

وبالتالي ، تم العثور على الحد الأقصى لحجم الاسطوانة إذا اخترنا

# r = sqrt (2/3) R #و #h = (2R) / sqrt (3) #

مع هذا الاختيار نحصل على الحد الأقصى لحجم كما ؛

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

ومن الواضح أن حجم الكرة يعطى بواسطة:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

هذه مشكلة مشهورة جد ا ، درسها علماء الرياضيات اليونانيون قبل اكتشاف حساب التفاضل والتكامل. خاصية مثيرة للاهتمام هي نسبة حجم الاسطوانة إلى حجم الكرة:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

بمعنى آخر ، فإن نسبة وحدات التخزين مستقلة تمام ا عن # R #, # ص # أو # ح # وهو تماما نتيجة مذهلة!