النقطتان (2 ، 9) و (1 ، 3) هما (3 pi) / 4 راديان على دائرة. ما هو أقصر طول القوس بين النقاط؟

إجابة:

6.24 وحدة

تفسير:

ويتضح من الشكل أعلاه أن أقصر # # arcAB وجود نقطة النهاية A (2،9) و B (1،3) سيخضعان للترجمة # بي / 4 # زاوية rad في المركز O للدائرة. تم الحصول على وتر AB من خلال الانضمام إلى A ، B. يتم رسمها أيض ا على OC عمودي على C من مركز O.

الآن المثلث OAB هو متساوي الساقين له OA = OB = r (نصف قطر الدائرة)

oc شطر # / _ AOB # و # / _ AOC # يصبح # بي / 8 #.

AgainAC = قبل الميلاد# = 1 / 2AB = 1/2 * الجذر التربيعي ((2-1) ^ 2 + (9-3) ^ 2) = 1 / 2sqrt37 #

#:. AB = sqrt37 #

الآن # AB = AC + BC = rsin / _AOC + rsin / _BOC = 2rsin (بي / 8) #

# ص = 1 / 2AB * (1 / الخطيئة (بي / 8)) = 1 / 2sqrt37csc (بي / 8) #

الآن،

أقصر طول قوس من AB = نصف القطر# * / _ AOB = ص * / _ AOB = ص * (بي / 4) = 1 / 2sqrt37csc (بي / 8) * (بي / 4) = 6.24 #وحدة

بسهولة أكبر عن طريق خصائص المثلث

# ص / الخطيئة (3pi / 8) = (AB) / الخطيئة (بي / 4) #

# ص = (AB) / الخطيئة (بي / 4) * (الخطيئة (3pi / 8)) = sqrt2AB * الخطيئة (3pi / 8) #

الآن

أقصر طول قوس من AB = نصف القطر# * / _ AOB = ص * / _ AOB = ص * (بي / 4) = sqrt2AB * الخطيئة (3pi / 8) * بي / 4 = 6.24 # وحدة

النقطتان (-2،5) و (9 ، -3) هما النقطتان الطرفيتان لقطر الدائرة ، كيف يمكنك العثور على طول نصف قطر الدائرة؟

نصف قطر الدائرة ~ = 6.80 (انظر الشكل التوضيحي التقريبي أدناه) يتم إعطاء قطر الدائرة بواسطة نظرية فيثاغورس بلون (أبيض) ("XXX") sqrt (8 ^ 2 + 11 ^ 2) اللون (أبيض) ("XXX") ") = sqrt (185 لون (أبيض) (" XXX ") ~ = 13.60 (باستخدام الآلة الحاسبة) نصف القطر هو نصف طول القطر.

النقطتان (3 ، 2) و (7 ، 4) هما (pi) / 3 راديان على دائرة. ما هو أقصر طول القوس بين النقاط؟

4.68 وحدة نظر ا لأن القوس الذي تكون نقاطه النهائية (3،2) و (7،4) ، يرسل anglepi / 3 في الوسط ، فإن طول الخط الذي يصل بين هاتين النقطتين سيكون مساو ا لنصف قطره. وبالتالي طول الشعاع r = sqrt ((7-3) ^ 2 + (4-2) ^ 2) = sqrt20 = 2sqrt5 nowS / r = theta = pi / 3 ، حيث s = طول القوس و r = نصف القطر ، theta = زاوية مائلة تكون قوس في المركز. S = بي / 3 * ص = 3.14 / 3 * 2sqrt5 = 4.68unit

النقطتان (6 ، 7) و (5 ، 5) هما (2 pi) / 3 راديان على دائرة. ما هو أقصر طول القوس بين النقاط؟

= (2pisqrt5) / (3sqrt3) AB = sqrt ((6-5) ^ 2 + (7-5) ^ 2) = sqrt5 دع نصف قطر الدائرة = r AB = AC + BC = rsin (pi / 3) + rsin (pi / 3) = 2rsin (pi / 3) = sqrt3r r = (AB) / (sqrt3) = sqrt5 / (sqrt3) طول القوس = rxx (2pi / 3) = sqrt5 / (sqrt3) xx (2pi / 3) = (2pisqrt5) / (3sqrt3)