كيفية حل inte ^ xcosxdx؟

إجابة:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

تفسير:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

سنستخدم التكامل بالأجزاء التي تنص على ذلك #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

استخدام التكامل من جانب أجزاء ، مع # ش = ه ^ س #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #و # ت = الخطيئة (خ) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

استخدام التكامل من جانب أجزاء مرة أخرى إلى لا يتجزأ الثاني ، مع # ش = ه ^ س #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #و # ت = -cos (خ) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

الآن ، أذكر أننا حددنا # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. وبالتالي ، تصبح المعادلة أعلاه ما يلي (تذكر أن تضيف ثابت التكامل):

# I = ه ^ xsin (خ) + ه ^ xcos (خ) -I + C #

# 2I = ه ^ xsin (خ) + ه ^ xcos (خ) + C = ه ^ س (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) + C #

# I = 1 / 2E ^ س (الخطيئة (خ) + كوس (خ)) + C #

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

باستخدام هوية دي Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # نحن لدينا

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

لكن #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

وأخيرا

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #