لنفترض أن هناك المريخ ون أبناء الأرض في مؤتمر السلام. لضمان بقاء المريخ هادئين في المؤتمر ، يجب أن نتأكد من عدم وجود اثنين من المريخ يجلسون مع ا ، بحيث يوجد بين اثنين من المريخ واحد على الأقل من أبناء الأرض؟ (انظر التفاصيل)

إجابة:

ا) # (ن! (ن + 1)!) / ((ن-م + 1)!) #

ب) # (ن! (N-1)!) / ((ن م)!) #

تفسير:

بالإضافة إلى بعض التفكير الإضافي ، سنستخدم ثلاث تقنيات شائعة للعد.

أولا ، سوف نستفيد من حقيقة أنه إذا كان هناك # ن # طرق لفعل شيء واحد و # م # طرق للقيام بآخر ، ثم افتراض أن المهام مستقلة (ما يمكنك القيام به لأحد لا يعتمد على ما قمت به في الآخر) ، هناك # # نانومتر طرق للقيام بالأمرين. على سبيل المثال ، إذا كان لدي خمسة قمصان وثلاثة أزواج من السراويل ، فهناك #3*5=15# ملابس أستطيع أن أجعل.

ثانيا ، سوف نستخدم هذا العدد من طرق الطلب #ك# الكائنات هي #ك!#. هذا لأن هناك #ك# طرق اختيار الكائن الأول ، ثم # ك # 1 طرق اختيار الثانية ، وهلم جرا وهكذا دواليك. وبالتالي فإن العدد الإجمالي للطرق هو #K (ك 1) (ك 2) (2) (1) = ك! #

أخير ا ، سوف نستخدم هذا العدد من طرق الاختيار #ك# كائنات من مجموعة من # ن # الكائنات هي # ((n) ، (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (وضوحا كما ن اختيار ك). ويرد هنا الخطوط العريضة لكيفية الوصول إلى هذه الصيغة.

أ) إذا تجاهلنا الانقسامات في البداية ، فهناك # د! # طرق لطلب المريخ و # N! # طرق لطلب أبناء الأرض. أخير ا ، نحتاج إلى معرفة مكان وضع المريخ. لأن كل المريخ يحتاج إلى أن يوضع إما في نهايته أو بين اثنين من أبناء الأرض ، هناك # ن + 1 # المواقع التي يمكن أن يجلسوا (واحد على يسار كل أبناء الأرض ، ثم واحد ا في أقصى اليمين). كما أن هناك # م # المريخ ، وهذا يعني أن هناك # ((n + 1) ، (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m!!) # الطرق الممكنة لوضعها. وبالتالي فإن مجموع ترتيبات الجلوس الممكنة هي

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

ب) هذه المشكلة تشبه ما ورد أعلاه. لجعل الأمور أكثر بساطة ، دعنا نختار أحد أبناء الأرض وندعوه الرئيس. نظر ا لأنه لا يهم كيفية تدوير الدائرة ، فبدلا من الإشارة إلى ترتيبات الجلوس على أساس الترتيب المطلق ، سننظر في ترتيبات الجلوس بناء على علاقتها بالرئيس.

كما ذكر أعلاه ، إذا بدأنا من الرئيس واستمرنا في اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة ، فيمكننا حساب عدد طرق طلب الحضور الباقين. كما أن هناك # م # المريخ و # ن # 1 أبناء الأرض المتبقية ، هناك # د! # طرق لطلب المريخ و # (ن 1)! # طرق لطلب بقية أبناء الأرض.

بعد ذلك ، نحتاج مرة أخرى إلى وضع المريخ. هذه المرة ليس لدينا بقعة إضافية في النهاية ، وبالتالي هناك فقط # ن # المواقع التي يمكنهم الجلوس. ثم هناك # ((ن)، (م)) = (ن!) / (م! (ن-م)!) # طرق لوضعها. وبالتالي فإن مجموع ترتيبات الجلوس الممكنة هي

# (ن 1)! م! (ن!) / (م! (ن-م)!) = (ن! (N-1)!) / ((ن م)!) #