ما هو جزء لا يتجزأ من sqrt (9-س ^ 2)؟

كلما رأيت هذا النوع من الوظائف ، أدرك (عن طريق ممارسة الكثير) أنه يجب عليك استخدام بديل خاص هنا:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

قد يبدو هذا بديلا غريب ا ، لكنك سترى سبب قيامنا بذلك.

#dx = 3cos (u) du #

استبدل everyhting في جزء لا يتجزأ:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

يمكننا إحضار 3 من لا يتجزأ:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

يمكنك معالجة 9 من أصل:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

نحن نعرف الهوية: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

إذا حلنا ل # # cosx، نحن نحصل:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

هذا هو بالضبط ما نراه في جزء لا يتجزأ ، حتى نتمكن من استبداله:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

قد تعرف هذا واحد كمضاد أساسي ، ولكن إذا كنت لا تعرف ذلك ، فيمكنك اكتشاف ذلك على النحو التالي:

نستخدم الهوية: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (يمكنك حل هذه المشكلة عن طريق الاستبدال)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

الآن ، كل ما يتعين علينا القيام به هو وضع # ش # في الوظيفة. دعونا ننظر إلى الوراء في كيفية تعريفنا لها:

#x = 3sin (u) #

# س / 3 = الخطيئة (ش) #

للحصول على # ش # للخروج من هذا ، تحتاج إلى اتخاذ وظيفة معكوس ل # # الخطيئة على كلا الجانبين ، هذا هو # # جيب الزاوية القوسي:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

نحتاج الآن إلى إدخاله في حلنا:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

هذا هو الحل النهائي.