بي ن أن المسار الذي تتبعه نقطة تقاطع ثلاث طائرات متعامدة متبادلة متعامدة مع الفأس الإهليلجي ^ 2 + بواسطة ^ 2 + cz ^ 2 = 1 هو مجال له نفس مركز مسار الإهليلجي.؟

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

دعوة # E-> و (س، ص، ض) = الفأس ^ 2 + التي كتبها ^ 2 + تشيكوسلوفاكيا ^ 2-1 = 0 #

إذا #p_i = (x_i ، y_i ، z_i) في E # ثم

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # هي طائرة الظل ل # E # لأن لديه نقطة مشتركة و #vec n_i = (ax_i ، by_i ، cz_i) # أمر طبيعي ل # E #

سمح # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # أن يكون طائرة عامة الظل ل # E # ثم

# {(x_i = alpha / (a delta)) ، (y_i = beta / (bdelta)) ، (z_i = gamma / (c delta)):} #

لكن

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # وبالتالي

# ألفا ^ 2 / أ + بيتا ^ 2 / ب + جاما ^ 2 / ج = دلتا ^ 2 # ومعادلة مستوى الظل العامة هي

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

الآن أعطيت ثلاث طائرات متعامدة

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

والاتصال #vec v_i = (alpha_i ، beta_i ، gamma_i) # وصنع

#V = ((vec v_1) ، (vec v_2) ، (vec v_3)) # يمكننا أن نختار

#V cdot V ^ T = I_3 #

ونتيجة لذلك

# V ^ Tcdot V = I_3 #

ثم لدينا أيضا

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1) ، (sum_i beta_i ^ 2 = 1) ، (sum_i gamma_i ^ 2 = 1) ، (sum_i alpha_i beta_i = 0) ، (sum_i alpha_i gamma_i = 0) ، (sum_i beta_i gamma_i = 0) ، 0):} #

مضيفا الآن #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # نحن لدينا

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i) = sum

وأخيرا

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

لكن #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

وبالتالي

# س ^ 2 + ص ^ 2 + Z ^ 2 = 1 / أ + 1 / ب + 1 / ج #

وهو المسار الذي تتبعه نقطة تقاطع ثلاث طائرات الظل العمودي المتبادل إلى الإهليلجي.

تعلق مؤامرة للقطع الناقص

# س ^ 2 + 2Y ^ 2 + 3Z ^ 2 = 1 #