ما هي أسرع وأسهل طريقة لحل المعادلات المكعبة والرباعية (بدون حاسبة متعددة الحدود)؟

إجابة:

هذا يعتمد…

تفسير:

إذا كان للمكعب أو الرباعي (أو أي درجة متعددة الحدود لهذه المسألة) جذور عقلانية ، فإن نظرية الجذور المنطقية قد تكون أسرع طريقة للعثور عليها.

يمكن أن تساعد قاعدة علامات ديكارت أيض ا في تحديد ما إذا كانت المعادلة متعددة الحدود لها جذور إيجابية أو سلبية ، لذلك ساعد في تضييق نطاق البحث.

لمعادلة مكعب ، قد يكون من المفيد تقييم التمييز:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• إذا # دلتا = 0 # ثم المكعب له جذر متكرر.

• إذا #Delta <0 # ثم مكعب لديه جذر حقيقي واحد واثنين من جذور معقدة غير حقيقية.

• إذا # دلتا> 0 # ثم مكعب لديه ثلاثة جذور حقيقية.

إذا # دلتا = 0 # ثم يشترك المكعب في عامل مشتق منه ، لذلك يجب أن تكون قادر ا على العثور على عامل مشترك من خلال حساب GCF متعدد الحدود.

خلاف ذلك ، من المفيد استخدام تحويل Tschirnhaus لاشتقاق a الاكتئاب مكعب مع عدم وجود مصطلح التربيع قبل المضي قدما.

إذا كان للمكعب جذر حقيقي واحد وجذران غير حقيقيان ، فإنني أوصي بطريقة كاردانو.

إذا كان لديه ثلاثة جذور حقيقية ، فإنني أوصي باستخدام بديل مثلثي.

بالنسبة للرباعيات ، يمكنك الحصول على محجر مكتئب بدون أي مصطلح المكعب بواسطة بديل #t = x + b / (4a) #.

إذا لم يكن للرباط الناتج أي مصطلح خطي ، فهذا يعني أنه من الدرجة الثانية # س ^ 2 #. يمكنك إما حل ذلك كتربيعي وتأخذ جذور مربعة ، أو يمكنك استخدام عامل الشكل:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

من هذا يمكنك أن تجد العوامل التربيعية لحلها.

إذا كان للرباط الناتج الناتج مصطلح خطي ، فيمكن أن يؤخذ في الاعتبار في الشكل:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

معادلة معاملات واستخدام # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #، يمكنك اشتقاق مكعب # ل^ 2 #. وبالتالي يمكنك أن تجد القيم الممكنة ل #ا#, #ب# و # ج #. ثم ابحث عن الأصفار للعوامل التربيعية.

هناك حالات خاصة أخرى ، لكن هذا يغطيها تقريب ا.