ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = x ^ 2y-y ^ 2x؟

إجابة:

نقطة السرج في الأصل.

تفسير:

نحن لدينا:

# f (x، y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

وهكذا نشتق المشتقات الجزئية. تذكر عندما نفرق جزئيا أننا نفرق بين المتغير wrt في حين نتعامل مع المتغيرات الأخرى على أنها ثابتة. و حينئذ:

# (جزئي f) / (جزئي x) = 2xy-y ^ 2 # و # (جزئي f) / (جزئي y) = x ^ 2-2yx #

في نقطة اكستريما أو سرج لدينا:

# (جزئي f) / (جزئي x) = 0 # و # (جزئي f) / (جزئي y) = 0 # الوقت ذاته:

أي حل متزامن من:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0 ، x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0 ، x = 1 / 2y #

وبالتالي هناك نقطة حرجة واحدة فقط في الأصل #(0,0)#. لإثبات طبيعة النقطة الحرجة ، مطلوب محللو سلسلة تايلور متعددة المتغيرات ونتائج الاختبار التالية:

# Delta = (جزئي ^ 2 f) / (جزئي x ^ 2) (جزئي ^ 2 f) / (جزئي y ^ 2) - {(جزئي ^ 2 f) / (جزئي x جزئي y)} ^ 2 <0 => # نقطة سرج

لذلك نحسب المشتقات الجزئية الثانية:

# (جزئي ^ 2f) / (جزئي x ^ 2) = 2y #;# (جزئي ^ 2f) / (جزئي y ^ 2) = -2x # و # (جزئي ^ 2 f) / (جزئي x جزئي y) = 2x-2y #

وهكذا متى # س = 0 ، ص = 0 # نحن نحصل:

# دلتا = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

وهو ما يعني أن اختبار السرج القياسية هو شامل ويحتاج إلى مزيد من التحليل. (يتضمن هذا عادة النظر في علامات الدالة عبر الشرائح المختلفة ، أو النظر في الاختبار الجزئي الثالث المشتق الذي يتجاوز نطاق هذا السؤال!).

يمكننا أيض ا إلقاء نظرة على المخطط ثلاثي الأبعاد واستخلاص استنتاج سريع مفاده أن النقطة الحرجة تبدو متوافقة مع نقطة سرج: