فليكن V = R³ و W = {(x، y، z) x + y + z = 0} فضاء ا فرعي ا لـ V.Which من أزواج المتجهات التالية في نفس coset من W في V؟ (ط) (1،3،2) و (2،2،2). (ب) (1،1،1) و (3،3،3).

إجابة:

# #

# mbox {i)} (1،3،2) mbox {and} (2،2،2): #

# qquad qquad qquad mbox {لا تنتمي إلى نفس coset من} W. #

# mbox {ii)} (1،1،1) mbox {and} (3،3،3): #

# qquad qquad qquad mbox {لا تنتمي إلى نفس coset من} W. #

تفسير:

# #

# mbox {1) لاحظ أنه ، من خلال المعطاة في} W ، mbox {يمكننا وصف} mbox {عناصر} W mbox {كتلك المتجهات لـ} V mbox {حيث} mbox {مجموع الإحداثيات هو} 0. #

# #

# mbox {2) أذكر الآن ما يلي:} #

# mbox {اثنين من المتجهات ينتميان إلى نفس coset في أي مساحة فرعية} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {فرقهم ينتمي إلى الفضاء الفرعي نفسه}. #

# #

# mbox {3) وبالتالي لتحديد العضوية في نفس المجموعة النصية لـ} W ، mbox {من الضروري والكافي تحديد ما إذا كان}} mbox {اختلاف تلك المتجهات ينتمي إلى} W: #

# qquad vec {v_1} ، vec {v_2} in mbox {نفس coset لـ} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} in W #

# #

# mbox {وبالتالي ، من خلال وصف} W mbox {في (1) أعلاه ، لدينا:} #

# vec {v_1} ، vec {v_2} في mbox {نفس coset لـ} W quad iff quad mbox {مجموع إحداثيات} ((vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {إنها مسألة حساب بسيط.} #

# #

# 4) mbox {متابعة مع اثنين من أزواج معينة من ناقلات ، و} mbox {تنفيذ هذا الحساب على كل زوج ، نجد: #

# quad mbox {i)} (1،3،2) - (2،2،2) = (-1،1،0) ، mbox {وهكذا} #

# qquad qquad mbox {مجموع إحداثيات} quad (-1،1،0) = 0. #

# mbox {Hence:} qquad qquad qquad (1،3،2) mbox {and} (2،2،2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {تنتمي إلى نفس coset لـ} W. #

# #

# quad mbox {ii)} (1،1،1) - (3،3،3) = (2،2،2) ، mbox {وهكذا} #

# qquad qquad mbox {مجموع إحداثيات} quad (2،2،2) = 6 ne 0. #

# mbox {Hence:} qquad qquad qquad (1،1،1) mbox {and} (3،3،3) #

# qquad quad quad mbox {لا تنتمي إلى نفس coset من} W. #