يرجى حل هذا؟ أي خيار صحيح؟

ي نظر إلى هذا بسهولة على أنه غير قابل للتنفيذ بالوسائل الأولية ، لذا فقد قمت بحله عددي ا وحصلت على:

قمت بتقييم لا يتجزأ ل # ن = 1 ، 1.5 ، 2 ،… ، 9.5 ، 10 ، 25 ، 50 ، 75 ، 100 #. بحلول ذلك الوقت كان من الواضح الوصول #0.5#.

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

أو

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

الآن بافتراض أن إحدى الإجابات صحيحة ، يبدو أن الأكثر طبيعية هي الرابعة 4)

ملحوظة

إلى عن على # x في 0،1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

إجابة:

#1/2#

تفسير:

كما هو مبين بالفعل في الحل السابق ،

#I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

موجود ومحدود:

# 1/2 le I_n <1 #

الآن التكامل بواسطة أجزاء الغلة

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n الأوقات (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qqad = 1/2 + J_n #

الآن ، منذ ذلك الحين # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # في #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

منذ #lim_ (n to oo) I_n # موجود ، لدينا

#lim_ (n to oo) J_n = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) مرة lim_ (n إلى oo) I_ (ن + 2) = 0 #

بالتالي

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #