ما هي الخطوط المقربة (الثقوب) والفتحة (الثقوب) ، إن وجدت ، من f (x) = xsin (1 / x)؟

إجابة:

الرجوع أدناه.

تفسير:

حسنا ، من الواضح أن هناك ثقب في # س = 0 #منذ القسمة #0# غير ممكن.

يمكننا رسم بياني الوظيفة:

رسم بياني {xsin (1 / x) -10 ، 10 ، -5 ، 5}

لا توجد تقاربات أو ثقوب أخرى.

إجابة:

# F (خ) # لديه ثقب (التوقف القابل للإزالة) في # س = 0 #.

كما أن لديها خط مقارب أفقي # ذ = 1 #.

لا يوجد لديه خطوط مقاربة رأسية أو مائلة.

تفسير:

معطى:

#f (x) = x sin (1 / x) #

سأستخدم بعض خصائص # sin (t) #وهي:

• #abs (sin t) <= 1 "" # لجميع القيم الحقيقية لل # ر #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # لجميع قيم # ر #.

أول ملاحظة ذلك # F (خ) # هي وظيفة متساوية:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

نجد:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

وبالتالي:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

لأن هذا هو #0#كذلك #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

أيضا ، منذ ذلك الحين # F (خ) # حتى:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

لاحظ أن # F (0) # غير معرف ، لأنه يتضمن القسمة على #0#، ولكن كلا اليسار واليمين حدود موجودة وتوافق على # س = 0 #، لذلك لديه ثقب (التوقف القابل للإزالة) هناك.

نجد أيضا:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

وبالمثل:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

وبالتالي # F (خ) # لديه خط مقارب أفقي # ذ = 1 #

رسم بياني {x sin (1 / x) -2.5 ، 2.5 ، -1.25 ، 1.25}