ما هو السلوك النهائي للدالة f (x) = ln x؟

#f (x) = ln (x) -> infty # مثل # ضعف -> infty # (#ln (خ) # ينمو دون ملزمة كما # # س ينمو دون ملزمة) و # F (س) = من قانون الجنسية (خ) -> - infty # مثل #x -> 0 ^ {+} # (#ln (خ) # ينمو دون ربط في الاتجاه السلبي كما # # س يقترب من الصفر من اليمين).

لإثبات الحقيقة الأولى ، تحتاج أساسا لإظهار أن الوظيفة المتزايدة # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # لا يوجد لديه خط مقارب أفقي مثل # ضعف -> infty #.

سمح # M> 0 # يكون أي عدد موجب معين (مهما كانت كبيرة). إذا # ضعف> ه ^ {M} #، ثم # F (س) = من قانون الجنسية (خ)> قانون الجنسية (ه ^ {M}) = M # (منذ # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # هي وظيفة متزايدة). هذا يثبت أن أي خط أفقي # ذ = M # لا يمكن أن يكون الخط المقارب الأفقي لـ # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # مثل # ضعف -> infty #. حقيقة ان # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # هي وظيفة متزايدة الآن يعني ذلك # F (س) = من قانون الجنسية (خ) -> infty # مثل # X-> infty #.

لإثبات الحقيقة الثانية ، دعونا # M> 0 # يكون أي عدد إيجابي معين بحيث # -M <0 # هو أي رقم سالب معين (بغض النظر عن المسافة من الصفر). إذا # 0 <x <e ^ {- M} #، ثم # F (س) = من قانون الجنسية (خ) < من قانون الجنسية (ه ^ {- M}) = - M # (منذ # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # بازدياد). هذا يثبت ذلك # F (س) = من قانون الجنسية (خ) # يحصل تحت أي خط أفقي إذا # 0 <x # قريبة بما فيه الكفاية من الصفر. هذا يعني # F (س) = من قانون الجنسية (خ) -> - infty # مثل #x -> 0 ^ {+} #.