اختبار و التقعر؟

إجابة:

#F# هو محدب في # # RR

تفسير:

حلها على ما أعتقد.

#F# هو 2 مرات متباينة في # # RR وبالتالي #F# و #F'# هي مستمرة في # # RR

نحن لدينا # (و "(خ)) ^ 3 + 3F '(س) = ه ^ س + cosx + س ^ 3 + 2X + 7 #

التفريق بين كلا الجزأين نحصل عليه

# 3 * (و "(خ)) ^ 2F '' (خ) + 3F '' (س) = ه ^ س-sinx + 3X ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3F '' (خ) ((و "(خ)) ^ 2 + 1) = ه ^ س-sinx + 3X ^ 2 + 2 #

• # F '(س) ^ 2> = 0 # وبالتالي # F '(س) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># # F '(س) = (ه ^ س-sinx + 3X ^ 2 + 2) / (3 ((و "(خ)) ^ 2 + 1)> 0) #

نحن بحاجة إلى علامة البسط لذلك نحن نعتبر وظيفة جديدة

#G (س) = ه ^ س-sinx + 3X ^ 2 + 2 # , # # س#في## # RR

#G '(س) = ه ^ س-cosx + 6X #

نلاحظ ذلك #G '(0) = ه ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1/1 + 0 = 0 #

إلى عن على # س = π # #=># #G "(π) = ه ^ π-cosπ + 6π = ه ^ π + 1 + 6π> 0 #

إلى عن على # س = -π # #G '(- π) = ه ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / ه ^ π + cosπ-6π = 1 / ه ^ π-1-6π <0 #

أخيرا نحصل على هذا الجدول الذي يظهر رتابة # ز #

مفترض # I_1 = (- س س، 0 و # I_2 = 0، + س س) #

#G (I_1) = ز ((- س س، 0) = غ (0)، lim_ (xrarr-س س) ز (خ)) = 3 + س س) #

#G (I_2) = ز (0، + س س)) = غ (0)، lim_ (xrarr + س س) ز (خ)) = 3 + س س) #

لان

• #lim_ (xrarr-س س) ز (س) = lim_ (xrarr-س س) (ه ^ س-sinx + 3X ^ 2 + 2) #

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# ه ^ س + 3X ^ 2 + 1/2 <= ه ^ س + 3X ^ 2 + 2-sinx <= ه ^ س + 3X ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# ه ^ س + 3X ^ 2 + 1 <= ز (خ) <= ه ^ س + 3X ^ 2 + 3 #

• باستخدام نظرية الضغط / شطيرة لدينا

#lim_ (xrarr-س س) (ه ^ س + 3X ^ 2 + 1) = + س س = lim_ (xrarr-س س) (ه ^ س + 3X ^ 2 + 3X) #

وبالتالي، #lim_ (xrarr-س س) ز (س) = س س + #

• #lim_ (xrarr + س س) ز (س) = lim_ (xrarr + س س) (ه ^ س-sinx + 3X ^ 2 + 2) #

مع نفس العملية ننتهي

# ه ^ س + 3X ^ 2 + 1 <= ز (خ) <= ه ^ س + 3X ^ 2 + 3 #

ومع ذلك، #lim_ (xrarr + س س) (ه ^ س + 3X ^ 2 + 1) = + س س = ه ^ س + 3X ^ 2 + 3 #

وبالتالي، #lim_ (xrarr + س س) ز (س) = س س + #

مدى ال # ز # سوف يكون:

# R_g = ز (D_G) = ز (I_1) uug (I_2) = 3 + س س) #

• # 0! inR_g = 3 + س س) # وبالتالي # ز # لا يوجد لديه جذور في # # RR

  # ز # مستمر في # # RR وليس لديه حلول. وبالتالي، # ز # يحفظ تسجيل الدخول # # RR

هذا يعني

# {(g (x)> 0 "،" xεRR) ، (g (x) <0 "،" xεRR):} #

وهكذا، #G (π) = ه ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = ه ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

كنتيجة ل #G (س)> 0 #, # # س#في## # RR

و # F '(س)> 0 #, # # س#في## # RR

#-># #F# هو محدب في # # RR

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

معطى #y = f (x) # يتم إعطاء نصف قطر منحنى الانحناء بواسطة

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # نظرا لذلك

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # نحن لدينا

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # أو

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # أو

# 1 / (و '(1+ (و') ^ 2)) = 3 / (ه ^ س + 3X ^ 3-sinx + 2) # أو

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3X ^ 3-sinx + 2) #

تحليل الآن #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # نحن لدينا

# دقيقة g (x) = 0 # إلى عن على # x في RR # وبالتالي #g (x) ge 0 # ثم الانحناء في

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # لا يغير التوقيع لذلك نستنتج ذلك # F (خ) # النقش هو محدب في # # RR